こんさんの選択公理オフ実況

スマートコン @mr_konn

今日はあるごさんによる Tychonoff の定理の証明とその準備に順序数の話〜 #選択公理ちゃんマジ公理

@qs_yu

順序数怖い #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

濃度について。 直感的には全単射が定める同値関係で宇宙Vを割ったものが濃度。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

次に順序数。整列集合と順序型のはなし。

スマートコン @mr_konn

順序数は直感的には整列集合を順序同型で割った同値類の完全代表系になっているもの。 #選択公理ちゃんマジ公理

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「ゼロは自然数で考えてます」 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

選択公理と同値な整列可能定理より任意の集合には整列順序が入る。数学的帰納法のパワーアップ版、超限帰納法が使える。 #選択公理ちゃんマジ公理

@qs_yu

ちょうげんきのうほう… #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

小さな順序数で云えればその順序数でも成立する、と云うのが超限帰納法。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

「超限帰納法は別に整列集合ならなんでもいいんじゃ？」「それでもいいんですけど自分でそれでやろうとしたら混乱したので順序数でやります」 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

では順序数とは具体的に何か？定義！ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

順序型にじたいは全順序なら定義されるらしい。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

推移的の定義。元が全部自身の部分集合になっているようなもの。つまり z∈y, y ∈x ⇒ z ∈ x。∅や {∅}もこれを満たす。 #選択公理ちゃんマジ公理

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いよいよ順序数の定義。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

x が順序数とは、xが推移的かつ(x, ∈)が(等号のない)整列順序。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

整列順序に推移性が入ってるような気もしたけど、x自身のだから条件としては必要らしい。そうか…。。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

事実。任意の整列集合(X, <)に対して、∃! α(順序数) s.t. (X, <) ~= (α, ∈)が成立。証明は略。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

S(x) := x ∪ {x} とすると、任意の順序数αに対しS(α)も再び順序数。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

最大元を一個加えたくらいでは整列順序は影響を受けず、推移的であることを示すのも簡単。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

順序数は略してONと書こう #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

特に∅は空集合。0と書く。1 := S(0) とすれば、先程の命題から順序数となる。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

2 := S(1) = {0, 1}, 3 := S(2) = {0,1, 2},... と任意の自然数は順序数となる。自然数以外の例は？ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

命題．順序数αについてその元も再び順序数(∀x ∈ α, x も順序数)。xの推移性より x∈αからx ⊆ αが云え、再び整列となる。xの整列性から推移性も明らか□ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

整列集合の比較可能定理。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

(さっきの補足：順序数って云うのは順序数からなる集合になっている、ということ) #選択公理ちゃんマジ公理