こんさんの選択公理オフ実況

スマートコン @mr_konn

(X, ≦), (Y, ≦') を整列集合とすると、次のどれかひとつだけが成立。(1)互いに同型 (2)∃x ∈ X, {a ∈X | a < x} ~= (Y, ≦') (3)∃y ∈ Y, (X, ≦) ~= {b ∈ Y | b < y} #選択公理ちゃんマジ公理

元祖眠り兎 @sleeping_walker

隣に座ってる某氏が実況しながらノートとってう

スマートコン @mr_konn

これから何わかるか？順序数α, βについて、 α<β ⇔ α ∈ β ⇔ (α ⊂ β ∧ α ≠ β)、α ~= β ⇔ α = β が云える！ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

つまり、β = { α | α < β} と書ける。 #選択公理ちゃんマジ公理

元祖眠り兎 @sleeping_walker

わたしはあんま話聞いてない

スマートコン @mr_konn

A ≠ ∅ を順序数の集まりとする(範囲によってはこれは集合にならない)と、A は最小元を持つ。適当に取ったα∈Aが最小元ならOK。そうでないとすると、{β ∈ A | β < α} ⊂ α を考えてやれば、α:整列より最小元を持ちこいつがAの最小元。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

系として、「ON全体の集まり」には整列順序が入る。(集合と思うと(ブラリ=フォルティから)矛盾が出るので集合ではない) #選択公理ちゃんマジ公理

元祖眠り兎 @sleeping_walker

順序数をちゃんと定義してやってるけど、わたしが都数の原稿で順序数書いた時は素朴な定義で最後までいった　#選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

この事実から、順序数全体に対する超限帰納法が定義出来る。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

超限帰納法：P(α)：命題について、(∀α [ (∀β<α, P(β)) ⇒ P(α)]) ⇒ ∀α P(α) #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

例えば、ω = 𝐍 とすると、ω = {0, 1, 2...} は順序数になる。自然数ちゃんと定義してなかったのでする。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

【定義】順序数αが後続型⇔∃β s.t. α = S(β) / α が極限順序数 ⇔ α ≠ 0 かつαは後続型ではない #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

「αが自然数 ⇔ ∀β ≦ α, β = 0 ∨ β = 後続型」「この定義使うの？」「あんま使わないです。順序数の雰囲気を掴んで貰えれば」 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

「素朴な定義でもよかったのでは？」「素朴なのよりこっちのほうが自分的にわかりよかったので……」 #選択公理ちゃんマジ公理

しぜんたいすう @maniwatch

そうですよ0は自然数ですよ　#0は自然数

スマートコン @mr_konn

素朴なっていうのは逆に「今までの順序数の全体」で定義する方法かな？ #選択公理ちゃんマジ公理

issei*fam @it__ssei

順序数なう

スマートコン @mr_konn

自然数の和は{ n + 0 := n、 n + S(m) := S (n + m) } だった。順序数の和を考えたい。極限順序数の場合を考えなくてはいけない。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

順序数の和。{ α + 0 := α, α + S(β) := S(α + β), β：極限のとき α + β := ∪_{γ<β}(α + γ)} がその定義。最後のはどういう意味か？ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

例1。0 + ω =∪{n < ω}(0 + n) = ∪_{n < ω}(n) = ∪_{n < ω} {0, 1, ..., n-1} = ω。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

こうして定義された和は非可換。ω + 1 = S(ω + 0) = S(ω) = ω∪{ω} ={0,1,...,ω}だが 1 + ω=cup_{n<ω} (1 + n) = ω。1が最初にあるかωが最初にあるかの違い。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

順序数はこれでお仕舞い。選択公理についてまず。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

整列可能定理(WOT)「任意の集合は整列順序を入れることができる」と選択公理(AC)は同値。まず (WOT ⇒ AC) を示す。 #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

Π_{λ∈Λ} X_λ ≠ ∅を示したい。族の各集合を整列させて最小元を取ってくればいいようにみえるけど、じつはこれACを既に使ってしまっている！ #選択公理ちゃんマジ公理

スマートコン @mr_konn

W_λ := {≦ | (X_λ, ≦) が整列} ≠ ∅。この族から整列方法を取ってこなくてはいけないので、先の証明は使えない！！ #選択公理ちゃんマジ公理