食パンの耳「関数解析再入門」

V-alg-d（ZZ） @alg_d

食パンの耳講演タイトル「関数解析再入門」 「既に入門している前提?!」 「はい。Hahn-Banachくらい知ってる前提で」

V-alg-d（ZZ） @alg_d

K:=R or C，XはK上の線型空間　 Γ: X上のseminormの族

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ε>0とp_1, …, p_n∈Γに対して 　　U(ε; p_1, …, p_n):={x∈X : 各p_i<ε} を考える． ε, p_jを動かすことで0の基本近傍系ができる．これでXに位相Oを入れる．

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このノートPC、数学の記号が全然変換で出なくてつらい。

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(X, O): 局所凸線型位相空間　となる．

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【定理】 Γ: seminormの族　が定める位相を考える． τ: X→K: 線型について次は同値 (i) τは連続 (ii) ∃p_1, …, p_n∈Γ, ∃M>0, ∀x∈X, |τ(x)|≦M max{ p_j(x) | 1≦j≦n }

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[証明] (ii)⇒(i) 自明　 (i)⇒(ii) S:={ x∈X : |τ(x)|<1 } =τ^-1(open ball) は0の近傍で ∃ε>0∃p_1, …, p_n∈Γ, U(ε, p_1, …, p_n)⊂S

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∴p=max{ p_j | 1≦j≦n}とおくと p(x)<ε⇒|τ(x)|<1　 M:=2/εとすると　 p(x)>0のとき p(x/Mp(x))=ε/2<ε　 ∴|τ(x/Mp(x))|<1　 ∴|τ(x)|<Mp(x) 　 p(x) = 0のときは|τ(x)|=0　■

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【定理】 X: 局所凸線型空間　 τ: X→K: 線型写像に対して　 τが連続⇔kerτが閉集合

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[証明] (⇒) 明らか　 (←) τ=0の時は明らかだからτ≠0としてよい． x_0∈τ^-1(1)とすると τ^-1(1) = x_0+kerτ．

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∴τ^-1(1)は閉集合　 ∴X＼τ^-1(1)は0の開近傍．　 ΓがXの位相を生成している時　 ∃ε>0, ∃p_1, …, p_n∈Γ, U:=U(ε; p_1, …, p_n)⊂X＼τ^-1(1)　 である．

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∀x∈X∃γ_x∈K( |γ_x|=1 かつ γ_xτ(x) = |τ(x)| ) である．　 γ_xx∈U⊂X＼τ^-1(1) なので　 　τ(γ_xx)∈R_{≧0}, τ(γ_xx)≠1　 ここでτ(γ_xx)<1である．

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(∵) τ(γ_xx)>1と仮定すると　 \frac{γ_xx}{τ(γ_xx)}∈U　なので　 1=τ(\frac{γ_xx}{τ(γ_xx)})≠1　となり矛盾する //

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故にx∈U⇒|τ(x)|<1　 ∴∀x∈X, |τ(x)|≦(2/ε)max{ p_j(x) | 1≦j≦n }　 即ちτは連続　■

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※注意 今は、局所凸線型位相空間の定義が先のΓによる位相が入った空間ということのようです。

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【補題】 Xが局所凸線型位相空間で dim X≧2　 凸開集合C⊂X, C≠{}, ￢0∈C に対して　 ∃x∈X＼{0} C∩Rx = {}

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(補題の証明は略)

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p: Xのseminorm　 Y⊂x: 部分空間　 線型空間としての割り算X/Yを考える． p': X/Y→R_{≧0}: seminormを　 　p'(x+Y):=inf{ p(x+y) | y∈Y }　 で定めると，Γ':={ p' : p∈Γ} によりX/Yに位相が入る．

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@alg_d ×Y⊂x: 部分空間　 ○Y⊂X: 閉部分空間

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【定理】 X: 局所凸線型位相空間と　 τ≠0: X→K: 線型連続写像に対して， τは開写像である

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[証明] X/kerτは一次元局所凸線型位相空間． τ': X/kerτ∋x+kerτ|→τ(x)∈K　は連続同型．

V-alg-d（ZZ） @alg_d

ネタ実況できなくてつらい

V-alg-d（ZZ） @alg_d

KはT_2なので X/kerτもT_2． よって，Γ'がX/kerτの位相を生成する時， 　∃p∈Γ', p≠0 (∀x∈X＼{0}, ∃p∈Γ, p(x)>0⇔XがT_2)

V-alg-d（ZZ） @alg_d

dim X/kerτ = 1より ∀q∈Γ', ∃α≧0, q=αp　 ∴X/kerτはpをノルムとするノルム空間である．