Inner model theory seminar.

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

上で言った L[x,G] での HOD と M_1 の iterate とその iteration strategy の関係は，こういう motivation で見ると望ましいものになっていて，HOD は M_1 とかなり似ていてウディン基数が一個しかないことがすぐにわかります。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

こういった関係を任意の determinacy の model について証明し，determinacy の理論，そのモデルでの HOD の理論，そして mouse の理論をパラレルに進めていこう，というのが現在の最先端の Core Model Program の哲学です。

@tenapi

@DaiskeIkegami これまでは HOD というのは V そのものと同じくらい混沌としたものというイメージだったんですけど、ひょっとするとそのイメージが変わりそうな流れでしょうか。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi ZFC のモデルの HOD はやっぱりわけわからないです。 最近ウディンがやってる ultimate L program は，extendible cardinal があるとき，

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi V と HOD がかなり近いか (weak covering があるか) が重要なポイントになってくるみたいです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi また，ZFC の context では，ウディン基数が非有界にあると，HOD が現在構成されている mouse operator すべてについて閉じていて，現在の枠組みで考えられるすべての mouse operator についても閉じてます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi 例えば，HOD は ordinal definable な inner model の中で一番でかいので，現在構成されている canonical な inner model は全部含まれているわけです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi また，ZFC の context では，ウディン基数が非有界にあると，HOD が現在構成されている mouse operator すべてについて閉じていて，現在の枠組みで考えられるすべての mouse operator についても閉じてます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi というわけで，ZFC での HOD はとてつもなくでかくて，現在のところ mouse を使って分析できる代物ではありません。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi 一方で，比較的小さい determinacy の model の HOD については，mouse を使って，かなりのことがわかっています。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi 先程は Delta^1_2-determinacy の model についてつぶやきましたが，M = L(R) で M が AD のモデルになっているときの HOD^M についても同様のことが成り立ちます。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi Determinacy の model たちは，多くの場合，Wadge reducibility を使って大きさを比較できるので，Wadge ordinal を見て小さいモデルから順々に HOD を計算していけるのです。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi こういう感じで large cardinal, mouse, determinacy を理解していこうよ，っていうのが Steel のアプローチですね。

@tenapi

で、内部モデルのHODを考えるのは、 VのHOD について考える足掛りという意味なのですか @DaiskeIkegami

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi う～ん，どうでしょう。V の HOD は canonical な object ではないので，V に対応する determinacy のモデルを作って，その HOD を見て V を理解する，というのが holy grail problem ですかね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi ウディンのアプローチはもっと top down で，V と V の HOD がかなり近いことを証明して，V の iterability を仮定して，fine structural な supercompact のモデルを作ろうぜ，という感じだと思います。

@tenapi

安易なアナロジーで語っちゃうとマズいかもしれないけど、再帰理論にとっての Delta^1_2 と 集合論にとっての HOD はちょっと似ていて、下から積み上げていく秩序の限界を超えている。昨日の @tri_iro のツイートにもあったけど。 @DaiskeIkegami

@tenapi

きのう @tri_iro が言ったように Absolute Delta^1_2 と True Delta^1_2 の間に超えられない壁があるというのも、きっと V や V における HOD の超越性に類比的というか、ひょっとしたら同じ問題。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi @tri_iro 僕は recursion theory のことはわからないんですけど，ZFC base で考えたときに，Absolute Delta^1_2 と True Delta^1_2 の間に壁があるというのはそんな気がします。

@tenapi

かつてルベーグ可測性の保証された最大の集合族を求めて記述集合論がたどりついたのが Absolute Delta^1_2 だったのですが、それと Universally Baire はかなり通底するものがあります。@tri_iro @DaiskeIkegami

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tri_iro なるほど。現在の核モデル理論では，構成できうる mouse operator の限界が universally Baire sets に対応しているので，recursion theory と正則性の関係もそれに通じる部分があるのかもしませんね。

@tenapi

@DaiskeIkegami @tri_iro そして Absolute Delta^1_2 は、Projective Hierarchy のうち、 ZFC で Universally Baire が保証できる最大の segment でもあるはずです。そのへんもいろいろ類比的。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi @tri_iro おぉ，なるほど。確かにそうですね。ZFC で議論すると，Absolute Delta^1_2 が手の届く範囲，という感じですかね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi @tri_iro まぁでも，large cardinal の本質が universally Baire sets で capture できるかどうか，ってのは今でも大きな open problem ですが。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@tenapi @tri_iro とりあえずそれを信じてやっていこうというのが Berkeley の (あるいは Steel の) philosophy かな。