二階算術と集合論での決定性

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami なるほどねー。弱いところでも \Sigma^0_3 決定性より上は少なくとも \Pi^1_n 型の集合存在公理とは全く相性が悪いという現象があります（Montalban, Shore の論文）。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako おそらく，決定性を研究するときに見たい巨大基数 (あるいは comprehension axiom) との関係は direct consequence ではなくて，consistency strength だと思います。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako だから，二階算術における決定性の研究でも，無矛盾性の強さを witness する何か構造を持ったもの (mouse みたいなもの) と対応付けられると理解が進むんじゃないかな，と思います。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako Montalban と Soare の論文には何かヒントがあるんじゃないかな，と思うんだけど，読んでみました？

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako Soare → Shore. 失礼。

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami 読んでるけど、後半が私にはむずかしいので勉強中。前半は \Sigma^0_3 の決定性を最初に示した論文を一般化したような感じだと思う。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako おぉ，読んでるんだ。いいねいいね。たしか，upper bound, lower bound 両方かなり sharp に示してるんですよね？

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami 前半ってのは \Pi^1_{n+3}-CA_0 \vdash (\Sigma^0_3)_n-Det の証明で、後半は \Delta^1_{n+3}-CA_0 \not\vdash (\Sigma^0_3)_n-Det なんですが

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami 後半が KP+ \Sigma_n reflection のモデルに関するゲームで何かやってるっぽいけど、まだ全然理解できてない。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako なるほど。\Delta^1_{n+3}-CA_0 と (\Sigma^0_3)_n-Det の無矛盾性の強さの比較とかはやってるんですかね？

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami 無矛盾性の比較はやってないかなぁ、多分（読めてない）。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako おぉ，そういうのを見るんですか。> KP+ \Sigma_n reflection のモデルに関するゲーム Harvey Friedman のボレル決定性に関する論文でも，モデルを code するゲームが出てきてたけど，アイディアはそのあたりからかな？

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami Montalban 氏はそれがアイディアだったといってたよ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako なるほど。では，きっと，決定性の無矛盾性の強さに対応する何らかの object を見ている，という感じではなさそうだね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako 二階算術において，決定性の無矛盾性を示すのって，comprehension から direct に証明する，というアプローチしかないですかね？モデル使って何かする，とかそういう method あります？

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami 私の知る範囲ではないかな（\Sigma^0_3 未満だと、大抵何かの集合存在公理と同値になる、という証明がされてきたので、そもそも必要がなかった）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako そうなんだ。集合論だとボレル決定性は ZFC の定理で，さっき言ったとおり，Pi^1_1-決定性はもうすでに巨大基数公理と同値にならないので，大分感覚が違うね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako 二階算術では，どこの pointclass の決定性から同値性がくずれるか，というのを見るのは面白いかもね。

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami 集合論だと巨大基数みたいな比較対象があるけど、二階算術だとあまりそういうのがなくて何と比べればいいのかいまいちよくわからない。（逆に言えば調べる余地があるんだけど）

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako 集合論でも，Pi^1_1 と Delta^1_2 の間の決定性は，巨大基数と対応がつくかよくわかってないんですよ。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako 二階算術で 0^# の存在を仮定してどのくらいの決定性が証明できるか，っていうのは面白い問いかもね。

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami base が弱すぎる場合に何が起こるのか？は面白いかもね。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako そうだね。二階算術では，Pi^1_1-決定性よりもっと弱いもので 0^# の存在の特徴づけができるかもしれないし。L の theory を展開するために，ATR0 くらいは必要かもしれないけど。

Ikegami Daisuke @DaiskeIkegami

@nemototakako Inner model theory の簡単な部分のある程度は二階算術で展開できるかもしれないし。

nemototakako @nemototakako

@DaiskeIkegami さすがに眠くなってきたのでそろそろ落ちます。おやすみなさい。