非斉次線形微分方程式のはなし

尿路結石おじさん @average33

馬鹿野郎お前俺は微分方程式を解くぞお前！

尿路結石おじさん @average33

以下、関数f(x)、変数xとする。 定数λとしたとき、微分方程式 df/dx - λx = 0 の解は、f = Ae^(λx) となる。（Aは積分定数）

尿路結石おじさん @average33

全く同様にして、 df/dx - P(x)f = 0 の解は、f = Ae^(∫P(x)dx)となる。これを利用して、 df/dx -P(x)f = Q(x) を解こう。

尿路結石おじさん @average33

ここで、f = Ae^(∫P(x)dx)　の積分定数Aを、変数A(x)と考える。このような解き方を「定数変化法」と呼ぶ。 このf = Ae^(∫P(x)dx)　について、 Q(x) = df/dx - P(x)f = A'e^(∫P(x)dx) となるので…

尿路結石おじさん @average33

A'(x) = Q(x)e^(-∫P(x)dx) となる。両辺を積分して、 A(x) = ∫Q(x)e^(-∫P(x)dx) dx となる。

尿路結石おじさん @average33

したがってこれをfに代入すると、 df/dx - P(x)f = Q(x)の解は、 f(x) = e^(∫P(x)dx)∫Q(x)e^(-∫P(x)dx) dx となる。非常にわかりづらい形ではあるが…

尿路結石おじさん @average33

P(x) = λ（定数）と置くと、 df/dx - λf = Q(x)の解は、 f(x) = e^(λx)∫Q(x)e^(-λx) dx となる。これなら、なんとなく覚えやすいであろう。後にこの解は重要になるので、暗記しておいた方がいい。

尿路結石おじさん @average33

さて、ここで微分作用素d/dxをDと書く。すると、 (D-λ)f = Q　の解は、 f = e^(λx)∫Qe^(-λx) dx となる。(D-λ)をただの数のように扱って、f=Q/(D-λ)と書くと、 Q/(D-λ) = e^(λx)∫Qe^(-λx) dx となる。

尿路結石おじさん @average33

このように。(D-λ)の逆を考えることを「演算子法」という。演算子法を用いれば、 f''-5f'+6f = R(x) みたいな形の2階の微分方程式が解けるようになる。

尿路結石おじさん @average33

微分作用素をDとおくと、f''-5f'+6f = Rより、 (D-2)(D-3)f = R　 となる。1/(D-2)(D-3) は部分分数分解できるので、（本当は厳密な証明が必要なのだが…） 1/(D-2)(D-3) = 1/(D-3) - 1/(D-2) とできる。

尿路結石おじさん @average33

つまり、f''-5f'+6f = R　の解は、 f = R/(D-3) - R/(D-2) を計算することにより得られる。 R/(D-λ) = e^(λx)∫Re^(-λx) dx を利用して解けば良い。

尿路結石おじさん @average33

たとえばR=334（阪神定数）であったら、 R/(D-λ) = e^(λx)∫Re^(-λx) dx = 334 e^(λx){-1/λ *e^(-λx) +A } = Ae^(λx) - 334/λ となるから、

尿路結石おじさん @average33

f = R/(D-3) - R/(D-2) = Ae^(3x) + Be^(2x) - 334/3 - 334/2 となる。 全くもって阪神関係無かった。

尿路結石おじさん @average33

さて。今回はRが定数だから計算が楽だったものの、Rがxの関数であるならば ∫Re^(-λx) dxの計算をしなければならない。ここでは、問題によく出るRの形を例示しよう。

尿路結石おじさん @average33

まずR=多項式のときは、e^(-λx)がいくらでも積分できることを利用して、部分積分法を使えばよい。省略。 R=sin(ax)や、R=cos(ax)のとき。 これは高校数学でもやったのだが、なかなか計算が面倒なので、解を覚えておくと手っ取り早い。

尿路結石おじさん @average33

∫sin(bx)e^(ax) dx = e^(ax)/(a^2+b^2) *(asin(bx)-bcos(bx)) + C ∫cos(bx)e^(ax) dx = e^(ax)/(a^2+b^2) *(acos(bx)+bsin(bx)) + C

尿路結石おじさん @average33

これの解き方も、部分積分法を2回用いれば循環するので、それを利用すれば良い。