ゆきみ「水素原子の安定性」

れんま @tononro

左辺の二倍を部分積分を使ってもりもり計算します。#kansaimath #kansaimath108

とも @tomo37

小学生の不等式を多用している #kansaimath108

れんま @tononro

まず、2f/|x|=Σ[d/dxj,xj/|x|]fを使い部分積分をして形を整えてからシュワルツでなぐる。#kansaimath #kansaimath108

かわいいアイコン推進委員会 @kipc1594

証明終わりのマークがハート♡だ #kansaimath108

れんま @tononro

大きな球から小さな球を抜いた領域で積分をやって部分積分で出てくる境界の項は大きい方は仮定からゼロで小さい方は極限をとると良い。#kansaimath #kansaimath108

れんま @tononro

かくてれんまが示された。#kansaimath #kansaimath108

Lim Hahn@春からおやすみ. @tl_so_men

Theorem. (水素原子の安定性) E_0≔{ξ(ψ);ψ∈H^1(R^3), <ψ, ψ>=1} ⇨E_0=-1/4. #kansaimath108

れんま @tononro

クーロン不確定性といわれているなかなか良い結果で等号条件もわかっている。主定理はTf+Vfのソボレフ空間の単位球における下限が―1/4であること。#kansaimath #kansaimath108

あーく @ark184

しゅわるつの等号条件で自身と微分とが定数倍みたいな条件が出てくるというのが謎のexpの出自やったんか。なるほど。 #kansaimath108

Lim Hahn@春からおやすみ. @tl_so_men

Proof. ∀ψ∈H^1(R^3), <ψ, ψ>=1をとる. ξ(ψ)=f_R^3|∇f(x)|^2dx-f_R^3|f(x)|^2/|x|dx ≧||∇f||_2^2-||∇ψ||_2||ψ||_2 (∵クーロン不確定性原理) #kansaimath108

Lim Hahn@春からおやすみ. @tl_so_men

@tl_so_men =(||∇ψ||_2-1/4)^2-1/4 ≧-1/4. ∴E_0≧-1/4. ψ_0=const. exp(-½|x|)⇨ξ(ψ_0)=-¼. #kansaimath108

テソソソトソ @10_phy

はぇ～すっごい

れんま @tononro

証明は平方完成。基底関数はe^(―1/|2x|)。#kansaimath #kansaimath108

テソソソトソ @10_phy

不等式評価舐めてたわ #kansaimath108

もちりん @mochiri_y

シュレディンガー方程式解いていかなくても不等式評価で水素原子の問題解けるのは面白いなあ #kansaimath

テソソソトソ @10_phy

Hardy の不等式 #kansaimath108

Lim Hahn@春からおやすみ. @tl_so_men

Remark. Hardyの不等式 f_R^3|f(x)|^2/|x|^2dx≦const. ||f||_2||∇f||_2 これもクーロンのときと同様に示すことができる. (多分) #kansaimath108

もちりん @mochiri_y

ψの関数にするとψが波動関数じゃなくて場に見えてくる... #kansaimath

Lim Hahn@春からおやすみ. @tl_so_men

Hölderの不等式だ. #kansaimath108

れんま @tononro

Hardy不等式の紹介とポテンシャルが1/|x|でなくL^(3/2)+L^(∞)の形の時も最低エネルギーがある。#kansaimath #kansaimath108

あーく @ark184

みご「このソボレフの不等式と…もう一個使うのは誰でも知っているやつですね。」私(どうせ私は知らんやつなんやろな…。)みご「ヘルダーの不等式。」私(あ、本当に知っているやつやった。) #kansaimath108

れんま @tononro

ソボレフとヘルダーの会わせ技で行けるらしい。#kansaimath #kansaimath108

end.K @end313124

今日のまとめ！「不等式！！！」 #kansaimath #kansaimath108

テソソソトソ @10_phy

不等式!!!

Lim Hahn@春からおやすみ. @tl_so_men

まとめ. 不等式！！！ #kansaimath108