数学:集合論と選択公理

Takayuki Kihara @tri_iro

構成的順序数（ω_1^{CK}未満）のレベルまでのLの階層なら構成的と言ってよい気もします（その段階で既に計算不可能な集合は沢山入ってくるけれども）。でも、可算順序数の段階で、再帰的到達不能順序数・再帰的マーロ順序数・再帰的反映順序数とか現れるので、それは構成的といっていいのか…

Takayuki Kihara @tri_iro

あ、構成主義と選択公理認めない主義はまた別なので、ごちゃまぜにして書くのはまずかったかも。

Takayuki Kihara @tri_iro

なお僕自身は別に構成主義でも選択公理認めない主義でもありませんが、そういう立場にも価値はあると思っている的な主義です。

@h_kagami

. @tri_iro 私自身は構成主義や選択公理なしの方が上手にものごとが進展する分野についてまったく否定していません。ただし20世紀以降の豊富な数学以上のことを ZF と選択公理なしで行うためにはよほど素晴らしい代替が必要であろうとは考えています。

@h_kagami

仮に基礎としての ZFC から脱却するならば 21 世紀のブルバキ的なインパクトが必要かなと思います。

くるる @kururu_goedel

選択公理の話、激しく出遅れた。私も@shinji_kono さんが何を批判しようとしているのかがよくわかりません。前提としている数学教育の現状自体に食い違いがあるようで。http://bit.ly/aoty81

くるる @kururu_goedel

そもそも、「選択公理を使わない」方が「選択公理を使う」よりも教えるのが面倒だと思っているという点で、前提が共有出来ていないような。

@h_kagami

RT @kururu_goedel: そもそも、「選択公理を使わない」方が「選択公理を使う」よりも教えるのが面倒だと思っているという点で、前提が共有出来ていないような。

Shinji Kono @shinji_kono

@kururu_goedel たぶん、僕自身が選択公理の使い方を良くわかってなくて、避ける方法を探しているだけかも知れません。避けられれば避けること自体は悪いことではないし。

ytb @ytb_at_twt

@tri_iro もうとっくに終わった話だと思いますが、（１）直観主義論理上の構成的型理論（マーティン・レフのとか：ITT）上では選択公理のバージョンが証明できるので、その意味で選択公理も構成的であるとみなせますよね。

ytb @ytb_at_twt

@tri_iro それから、（２）一方選択公理の外延的なバージョンはITTで排中律を導出するので、その意味で選択公理（の外延的バージョン）は構成主義者は受け入れられないでしょう。

ytb @ytb_at_twt

@tri_iro あ、この話は @masahiro_sakai さんが詳しかったですね。http://www.tom.sfc.keio.ac.jp/~sakai/d/?date=0514

ytb @ytb_at_twt

@tri_iro あと、昔 @yoriyuki さんがCoquand の論文を紹介されてました。一節が外延的選択公理の問題に当たっています。 http://citeseer.ist.psu.edu/182732.html

ytb @ytb_at_twt

@tri_iro とにかく、今は1920年代ではなく、21世紀なんですから、「選択公理は不自然か」みたいな不毛な印象論じゃなく、もうちょっと建設的な議論（「度選択公理のどういう形式化は、どういう構成性に関する立場から受け入れ可能か」等）をするべきではないかと思います。

@patho_logic

RT @ytb_at_twt: @tri_iro とにかく、今は1920年代ではなく、21世紀なんですから、「選択公理は不自然か」みたいな不毛な印象論じゃなく、もうちょっと建設的な議論（「度選択公理のどういう形式化は、どういう構成性に関する立場から受け入れ可能か」等）をするべきではないかと思います。

{白,黒}のカピバラの左随伴右随伴 @ainsophyao

選択公理を否定したい人に結構そもそも数学を使っていない人がいる疑惑。 RT @h_kagami 選択公理を否定したい人ってとても便利に使っているであろう普通の代数に関してはどのような認識なのだろう。

ytb @ytb_at_twt

@patho_logic 余り関係ないですが、別の文脈において、Hintikkaが「選択公理は、集合論ではない、論理的真理だ」って主張していました。未だに、色々な異論があり得る話題なんですよね、選択公理って。

{白,黒}のカピバラの左随伴右随伴 @ainsophyao

無限次元線形空間の基底の存在は可算でも選択公理いるのではなかったっけ。[要出典]

岡本暁広＠無限遠点の比較的近傍〄 @henkma

便利に使ってるであろう普通の代数に関しても選択公理が必要そうなところは否定的になるって感じな気がする。 QT @ainsophyao: 選択公理を否定したい人に結構そもそも数学を使っていない人がいる疑惑。 RT @h_kagami 選択公理を否定したい人ってとても便利に使(後略)

Masahiro Sakai @masahiro_sakai

.@ytb_at_twt @tri_iro その話については http://www.tom.sfc.keio.ac.jp/~sakai/d/?date=20090711#p01 あたりの方がまとまっているかと。

Ü+1F980🦀 @ranha

さかいさんの所に書いている選択公理を見て「構成的プログラミングの基礎」にchoice principle(CP)としても色々書いてあったなー → 構成的プログラミングの基礎は最初しかまだ読んでない事を思い出す → 私はクソですという気持ちになるという流れ