サブアト(6/29)

💉×2 @mr_japanglish

7月20日は休講 7月24日（金）は補講、内容はニュートリノ、期末には出ません。 7月27日（月）に期末 筆記用具と電卓 内容は理解重視であまり式変形とかにはこだわりません。（授業中に「これは自分でやってみるといいでしょう」って言ってた箇所は疑惑濃厚） #subatomic_TL

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Feynman図： フェルミの黄金率から始めます。 遷移速度は遷移行列（散乱振幅）の行列式と位相空間（終状態密度）から計算できます。 #subatomic_TL

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自然単位系を用います。 Sは同種粒子の重複を無くすための因子、［］内は位相空間、デルタ関数は相対論的エネルギー運動量保存の要請。 #subatomic_TL

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例にパイオンを崩壊させます。パイオンの静止系を採用するので、エネルギー運動量保存でパイオンのエネルギーは質量分だけ、運動量はゼロです。 #subatomic_TL

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まずp3で積分します。 p2=-p3がデルタ関数より要請されます。次に残ったデルタ関数に合成の公式を適用します（？）。p2積分が残りますが、全運動量空間にわたるので球座標に変換します。スピンが無いので回転対称性より角度依存部分は4π。 #subatomic_TL

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あとは遷移行列を計算すればいいのですが、一旦放置して、散乱問題でも式を書いてみます。とはいえほとんど同じ式で、最終的に現れる微分散乱断面積もさっき見た式です。どんな散乱でも基本的にこの式は成立するので、相互作用など粒子の性質は行列要素に入ります。 #subatomic_TL

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ではFeynman図で行列要素を計算しましょう。時間は上向きに進むとして、3つのスピン0粒子ABCを考えましょう。 AがBCに崩壊するとします。線はABCで3本、崩壊は一度なので分岐点は1つです。線はPropagator、頂点はVertexといいます。 #subatomic_TL

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Feynmanルールで図の描き方を考えましょう。 1.　まず目当ての粒子が反応を起こる図の中で頂点を最小にするものを描きます。 2.　外部運動量をp、内部運動量をqとして4元運動量をラベル付けします。 3.　各頂点に-igを与える？？？ （続く） #subatomic_TL

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4.　各頂点でエネルギー運動量保存を考える。 5.　行列要素はM = i * 頂点要素 * 線要素 * 運動量保存のデルタ関数 6.　内部運動量で積分 7.　余計な2πδを落とす これでMが出ます。よくわかりませんがとりあえずやってみましょう。 #subatomic_TL

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ではpAを持ったAがpB、pCを持ったB、Cになる崩壊でルールを適用すると、 M = i * (-ig) * (2pi)^4 δ^4 から最後の2pi以降が消え、 M = g となります。このgですが、QEDとかをやればわかりますがチャージもどきです。 #subatomic_TL

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散乱でも同様に頑張れば計算できます： A+A->B+B 間に相互作用としてCが入るので頂点の数は2に増え、行列要素も複雑になります。 #subatomic_TL

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反物質の話に入りますっておいこれ2限そのままやんけー #subatomic_TL

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古典力学から量子力学に移る時、最初は古典的な「エネルギーは運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー」に演算子を形式的に代入してシュレディンガー方程式を得ました。同様に、相対論のエネルギー運動量関係式に演算子を形式的に代入します。 #subatomic_TL

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得られる方程式がKlein-Gordon eq.です。平面波解も持ちます。 しかし欠点として2次の方程式なので、解は当然2次のエネルギー運動量関係式を満たします。ルートを取ると、正エネルギー解の外に負エネルギー解が現れますので基底状態が定まりません。 #subatomic_TL

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ここでDiracは我々の認識している真空を負エネルギー解が全て埋まった状態と考えました。埋まった解から一個の粒子を励起すると、励起子そのものと同時に負エネルギー解の「海」の中にホールが現れます。運動量、エネルギー、チャージ全てにマイナス符号が付きます。 #subatomic_TL

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当時は電子に対して反粒子はきっと陽子だと考えられていましたが、質量が1800倍違うので違うだろうと棄却されました。しかし後ほど陽電子が見つかり、この解釈は信憑性を増しました。 #subatomic_TL

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さて、ここからどうするかですが、Diracは行列やスピノルを導入することによって先ほどのKG方程式を1次のDirac方程式に落とし込むことに成功しました。めでたしめでたし。 #subatomic_TL

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本題はQEDとFeynman図の関係なのでこの辺でQFTはやめて、電子－電子散乱の行列要素を計算します。 電子同士は光子の交換で電磁相互作用を発揮します。また、陽電子は反粒子なのでFeynman図では時間を遡る方向に走ります。 #subatomic_TL

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本当はFeynman図はある結果を得るために起こりうる過程を全て足さなければなりませんが、これは無限に多くなります。電磁相互作用なんかでは頂点の数が増えると寄与が急速に減るため頂点数を増やす時は摂動的に扱えますが、QCDでは寄与が減らないので困ります。 #subatomic_TL

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磁気モーメントもFeynman図でどんどん小さな寄与まで（コンピュータとかで）計算できますが、この計算値が前に言っていた「最も理論と実験が正確に一致している値」のことです。これが破れるようであれば標準模型を超える理論があることが示唆されます。 #subatomic_TL