図が表せる論理構造はどのくらい？

算定仙人 @mitsichoh

記号a,b,c,dが線で繋がった図があるとする。いずれの記号も互いに繋がっている場合、二次元の紙の上で、一本の線も交わらないように図を描く方法はあるだろうか？

算定仙人 @mitsichoh

n個の記号Anが線で繋がった図があるとする。いずれの記号も互いに繋がっている場合、二次元の紙の上で、どの線も交わらないように図を描く方法は必ず存在するだろうか？

算定仙人 @mitsichoh

よかったら暇つぶしに解いてみてね。

算定仙人 @mitsichoh

n=5で詰まったけど証明はどうやるんだろうなあ

算定仙人 @mitsichoh

1次元上の図を考えるとn=3で詰まるし、三次元だとnはいくつでも詰まることはなさそう。どうなってんだこれ？

算定仙人 @mitsichoh

グラフ理論でも勉強するかな…

算定仙人 @mitsichoh

この問題設定とグラフ理論てビミョーにずれてるんだよなあ むしろトポロジーなのか？

ナナメ @naru901

@mitsichoh 線というものが一次元という事実と関係してそう

算定仙人 @mitsichoh

@naru901 おっしゃる通りで、3次元だと三点を頂点とする三角形の面を考えればn=6で詰まるんだよねえ。でも、この一般化は1次元だとできないしどう考えたらいいのだろう

算定仙人 @mitsichoh

自分としては3次元でいきなり無限が出てくるというジャンプがよく分からない。どんな法則があるのだろうか

算定仙人 @mitsichoh

なるほど、飯食って胃がもたれた状態で空腹者を見つけて飯テロ画像を投下すれば自爆が回避できるのか。なんという卑劣な犯行…

算定仙人 @mitsichoh

系を再構築するのではなく、また系を延長して拡大するのでもなく、結果を組み合わせて新しい結論を導くこと。

horiem @yellowshippo

@mitsichoh 解は必ずn-1のときの解に点をひとつたしたものになる？（要厳密性。これも3次元以降で崩れる気がする）なら、n=4の解のどの領域に点を打っても無理っぽい（小さい三角形の中は必ず無理だし、外側も示すのがむずいけど言えると思う）。

horiem @yellowshippo

@mitsichoh 3次元のだとねじれの位置が作れるからじゃまいか（平行なそれぞれの面内の任意の線どうしは必ず交わらない）？2次元だと線を平行にするか交わる前に止めるかしか手立てがない。しかし3次元以降で挙動が変わるのは面白いねえ。固体物理であった似たような話を思い出す。

horiem @yellowshippo

@mitsichoh 僕のツイートの前半の主張は当たり前だね。というか、nのときの解から点をひとつ消したものはn-1の解になっている。重要なのはどっちかっていうとn-1のときの解の（トポロジー的な）一意性だけど、4のときって三角形の中に点をひとつ打ったような解しかないよね？

算定仙人 @mitsichoh

@yellowshippo 問題の定義自体がちょっとよくなくて、実は線を直線にするっていう前提は入れてない。私はまず a-b-c-d みたいに線でつないでから、各ノードをタイやスラーでつなぐ感じの図で考えた。だから、3次元で考えるときも本来は任意曲面で考えるべきだったんだよね。

算定仙人 @mitsichoh

@yellowshippo 実はもともとの問題意識が、パワポのスライド上でどこまで複雑な論理構造を描けるか、というものだった。だから、面を考えることにもあまり意味はなかったりする。

算定仙人 @mitsichoh

@yellowshippo 特に面白いのは、こういうノードどうしが繋がっている構造って我々の世界だと脳がそれなわけです。脳は各ノード=神経細胞が繋がって、ある入力情報が全ての細胞に共有されるネットワークだと言われてる。すると二次元の生物は我々の脳みたいな構造は持てないのではないか

算定仙人 @mitsichoh

@yellowshippo もともと赤ん坊の脳細胞は最初互いに全部繋がった状態で生まれてくるらしく、学習するたびにシナプスを切っていくのだと。2次元だとその状態が作れないから、学習できない生物、というものしか生まれない可能性があるとかぼんやり考えてます

算定仙人 @mitsichoh

@yellowshippo いずれにせよ数学の記法ってn次元の世界を2次元の表式に一対一で写像する機能を含んでいるわけで、そこらへんがすごく興味深くて、たとえば記法がちょっとわかりにくい数学基礎論とか集合論を図で表すことはできないか、と考えてたわけです