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数学「1ツイート証明」 問題・解答・解説 (No.041~)

 「1ツイートで証明可能な問題」の収集を行っています。  「エレガントな解答」や「1行証明」と呼ばれるものに近いかもしれません。  数日おきに、問題と解答を1題ずつのペースで行っています。ネタが尽きるまで出題を続ける予定です。  ハッシュタグは #1tw_proof 。解答投稿や、問題提供もお待ちしております。古い問題への別解も歓迎です。お気軽にどうぞ。 続きを読む
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  • ツイートまとめ 数学 9749 view 53 1 user 数学「1ツイート証明」 問題のみ  Togetter《数学「1ツイート証明」 問題・解答・解説》から問題だけ抽出したまとめです。 ※2013/04/17より再開しました。 問題・解答・解説 ページ No.001~No.020 http://togetter.com/li/333913 No.021~No.040 http://togetter.com/li/350886 No.041~       http://togetter.com/li/377648 【更新記録】 ○2013/04/09 更新 No.054~No.055 ○2012/09/22 更新 No.048..

  • ▼No.041 27個の点で作られる同色長方形
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-05 00:05:39
    #1tw_proof 【数学/離散数学】同色長方形が必ず存在することを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/j4fy6SB0
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  • ★解答・解説

  • tb_lb @tb_lb 2012-09-10 00:40:13
    (証明)各行3個を組として、各組の塗り分け方は8通り。9組の中に同じ塗り分け方の組が存在し、その組の同色4個の点をうまく結べば同色長方形となる。 RT #1tw_proof 同色長方形が必ず存在することを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/j4fy6SB0
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  • tb_lb @tb_lb 2012-09-10 00:47:48
    #1tw_proof 補足しましょう。全体としては「鳩の巣原理」を利用しています。3点の色の組み合わせ方(2^3=8通り)よりも、行の数の方が多く、色の組み合わせが一致する行のペアが必ず存在します。その行には同色の点がある(ここも鳩の巣原理!)ので、長方形が作れるという算段です。
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-10 00:52:19
    #1tw_proof 縦方向と横方向とに鳩の巣原理を利用するあたりが小洒落ていて、お気に入りの1題です。この問題を3色や4色に改めると何行何列になるか、を考えるのは、いい練習問題になるのではないでしょうか。
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-10 00:54:06
    #1tw_proof このNo.041、実はまだ続きがあります。が、それは、また日を改めてご披露することにしましょう。出典をそのときにご紹介します。お楽しみに。
  • ★いただいた解答です

  • Hybrid@赤間関 @dwmy 2012-09-05 22:06:03
    3点を2色で塗り分ける方法は8通り。図は3×9であるため必ず配色が同じ行が1組でき、その1組からは必ず同色長方形ができる QT @tb_lb: #1tw_proof 【数学/離散数学】同色長方形が必ず存在することを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/w5vtLskc
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  • ▼No.042 凸多角形の内角
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-08 01:53:15
    #1tw_proof 【数学/図形】凸多角形の内角に鋭角は高々3個しかないことを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/znLexoaB
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  • ★解答・解説

  • tb_lb @tb_lb 2012-09-12 02:31:13
    (証明)内角が鋭角であれば、その外角は鈍角。これが4つ以上あると、外角の和が4直角を越え、凸多角形として不合理。 RT #1tw_proof 凸多角形の内角に鋭角は高々3個しかないことを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/znLexoaB
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  • tb_lb @tb_lb 2012-09-12 02:34:02
    #1tw_proof 凸多角形の外角の和は360°。これはいわゆる「不変量」です。つかみどころがなさそうな問題ですが、不変量に注目することで処理可能です。
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-12 02:36:24
    #1tw_proof さて、この問題に内角からアプローチする解答を送っていただいた方がいます。その解答を読むまで内角アプローチを考えもしていなかったので、目から鱗が落ちる思いでした。きれいな証明をご覧いただきましょう。リツイートいたします。
  • Hybrid@赤間関 @dwmy 2012-09-08 03:12:22
    n角形の平均内角は180(n-2)/n。4角が90°未満とすると他の内角の平均θはθ>{180(n-2)-360}/(n-4)=180となるため、凸多角形にならない QT @tb_lb: #1tw_proof 1ツイートで証明せよ。 http://t.co/YzTy0FWu
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  • tb_lb @tb_lb 2012-09-12 02:40:16
    #1tw_proof 約分されてスパッと180が導かれる点が痛快ですね。少しだけ補足すれば、平均が180°を越えれば、少なくとも1つの角は180°を越えます。だから、平均で処理して構わないのですね。見事な証明でした。
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-12 02:44:59
    #1tw_proof 出典を紹介しましょう。毎度おなじみの『数学のひろば2 柔らかい思考を育てる問題集』です。p.162に掲載された問題を元に、表現を改めて出題しました。
  • ↑2013/04/19追記
    絶版されていた出典が再版されました。PCなら下の「みんなのおすすめ商品」にも掲載しています。
    『やわらかな思考を育てる数学問題集(3)』p.84 第17章 問55

  • ★いただいた解答です

  • matryosika@クロム @matryo_sika 2012-09-08 17:38:05
    @tb_lb proof:多角形の外角の和は360°であるため、外角が常に正となる凸多角形は90°以上の外角を5つ以上もつことができない。故に、鋭角の内角は高々3つしかないといえる。Q.E.D.

  • ▼No.043 1~3を10回ずつ並べた整数
  • tb_lb @tb_lb 2012-09-10 01:01:01
    #1tw_proof 【数学/整数】1〜3を10回ずつ使った整数は平方数ではないことを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/YdIq3nuo
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  • ★解答・解説

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