数学「1ツイート証明」 問題・解答・解説 （No.041～）
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数学「1ツイート証明」 問題のみ
Togetter《数学「1ツイート証明」 問題・解答・解説》から問題だけ抽出したまとめです。
※2013/04/17より再開しました。
問題・解答・解説 ページ
No.001～No.020 http://togetter.com/li/333913
No.021～No.040 http://togetter.com/li/350886
No.041～ http://togetter.com/li/377648
【更新記録】
○2013/04/09 更新 No.054～No.055
○2012/09/22 更新 No.048～No.053
○2012/09/22 更新 No.043～No.047
○2012/09/09 更新 No.039～No.042
○2012/08/26 更新 No..
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2 users
▼No.041 27個の点で作られる同色長方形
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 【数学／離散数学】同色長方形が必ず存在することを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/j4fy6SB0
2012-09-05 00:05:39★解答・解説
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
（証明）各行3個を組として、各組の塗り分け方は8通り。9組の中に同じ塗り分け方の組が存在し、その組の同色4個の点をうまく結べば同色長方形となる。 RT #1tw_proof 同色長方形が必ず存在することを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/j4fy6SB0
2012-09-10 00:40:13
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 補足しましょう。全体としては「鳩の巣原理」を利用しています。3点の色の組み合わせ方（2^3＝8通り）よりも、行の数の方が多く、色の組み合わせが一致する行のペアが必ず存在します。その行には同色の点がある（ここも鳩の巣原理！）ので、長方形が作れるという算段です。
2012-09-10 00:47:48
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 縦方向と横方向とに鳩の巣原理を利用するあたりが小洒落ていて、お気に入りの1題です。この問題を3色や4色に改めると何行何列になるか、を考えるのは、いい練習問題になるのではないでしょうか。
2012-09-10 00:52:19
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof このNo.041、実はまだ続きがあります。が、それは、また日を改めてご披露することにしましょう。出典をそのときにご紹介します。お楽しみに。
2012-09-10 00:54:06★いただいた解答です
Hybrid@赤間関
@dwmy
3点を2色で塗り分ける方法は8通り。図は3×9であるため必ず配色が同じ行が1組でき、その1組からは必ず同色長方形ができる QT @tb_lb: #1tw_proof 【数学／離散数学】同色長方形が必ず存在することを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/w5vtLskc
2012-09-05 22:06:03▼No.042 凸多角形の内角
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 【数学／図形】凸多角形の内角に鋭角は高々3個しかないことを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/znLexoaB
2012-09-08 01:53:15★解答・解説
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
（証明）内角が鋭角であれば、その外角は鈍角。これが4つ以上あると、外角の和が4直角を越え、凸多角形として不合理。 RT #1tw_proof 凸多角形の内角に鋭角は高々3個しかないことを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/znLexoaB
2012-09-12 02:31:13
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 凸多角形の外角の和は360°。これはいわゆる「不変量」です。つかみどころがなさそうな問題ですが、不変量に注目することで処理可能です。
2012-09-12 02:34:02
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof さて、この問題に内角からアプローチする解答を送っていただいた方がいます。その解答を読むまで内角アプローチを考えもしていなかったので、目から鱗が落ちる思いでした。きれいな証明をご覧いただきましょう。リツイートいたします。
2012-09-12 02:36:24
Hybrid@赤間関
@dwmy
n角形の平均内角は180(n-2)/n。4角が90°未満とすると他の内角の平均θはθ>{180(n-2)-360}/(n-4)=180となるため、凸多角形にならない QT @tb_lb: #1tw_proof 1ツイートで証明せよ。 http://t.co/YzTy0FWu
2012-09-08 03:12:22
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 約分されてスパッと180が導かれる点が痛快ですね。少しだけ補足すれば、平均が180°を越えれば、少なくとも1つの角は180°を越えます。だから、平均で処理して構わないのですね。見事な証明でした。
2012-09-12 02:40:16
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 出典を紹介しましょう。毎度おなじみの『数学のひろば2 柔らかい思考を育てる問題集』です。p.162に掲載された問題を元に、表現を改めて出題しました。
2012-09-12 02:44:59↑2013/04/19追記
絶版されていた出典が再版されました。PCなら下の「みんなのおすすめ商品」にも掲載しています。
『やわらかな思考を育てる数学問題集(3)』p.84 第17章 問55
★いただいた解答です
matryosika@コバルト
@matryo_sika
@tb_lb proof:多角形の外角の和は360°であるため、外角が常に正となる凸多角形は90°以上の外角を5つ以上もつことができない。故に、鋭角の内角は高々3つしかないといえる。Q.E.D.
2012-09-08 17:38:05▼No.043 1～3を10回ずつ並べた整数
tb_lb／日曜夜に補助線主体の図形問題の再出題やってます
@tb_lb
#1tw_proof 【数学／整数】1〜3を10回ずつ使った整数は平方数ではないことを、1ツイートで証明せよ。 http://t.co/YdIq3nuo
2012-09-10 01:01:01★解答・解説