真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか？

@kenokabe

そんなことより、立ち机はどうなっているのです？ｗRT @anton0828: 【速攻インプレッション：新型MacBook Pro（2011年モデル）のすべて！-GIZMODO-】 http://goo.gl/bTfph そうか､ジョブズの誕生日に新型MacBook Pro発表か｡

あふろ @afrophys

そもそも対数関数がx=0で定義されないはずです。RT @kenokabe: じゃあlog(0)ではどうですか？x=e^(logx)は定義なので、x=0でも成立するでしょ？ @kentosho

@kenokabe

e^(log(0) iy) -Wolfram|Alpha - http://goo.gl/P1s5K mathmaticaはundefinedって結果は出てないですけどね。 　@afro_da_afro: そもそも対数関数がx=0で定義されないはずです。RT　 @kentosho

@kenokabe

なんでしょうね？「定義されない」ていうのと値が「発散する」っていうのは別概念だと思うんですが違うのですか？　RT @afro_da_afro: そもそも対数関数がx=0で定義されないはずです。 @kentosho

@kenokabe

リーマン球面に話をもっていく以前に、e^(log0)=0　というのは、成立しないのですか？　これをはっきりさせたいですね。　　RT @mac_wac: @kenokabe 例えば、Riemann球面上で原点から角度πの方向にzを動かした成れの果ては確かにexp(z)→0ですが

@kenokabe

念のためですけど、log（r）は実数範囲なんですよ。極座標のｒという実数由来なので。　RT @mac_wac: @kenokabe log(z)の方がより分かりやすい。角度0の方向から原点に近づけば(-)∞に飛びますが、角度πの方向から近づくと、値は振動を続けるばかり。

あふろ @afrophys

@kenokabe e^logx は極限として収束するけれども、logxの定義域にx=<0が定義されていないはずです。これは複素関数にしても同じだったかと。「収束する」からといって「定義されている」わけではないと思います。

@kenokabe

http://goo.gl/xsawl これが起点となるTWですが、この式の変形に何の問題があるのかさっぱりわかりません。端的に　e^(log0)=0 がおかしいと言われてるのと等価ですが、おかしい理由が示されないし、Mathmaticaはちゃんと０返す。 @mac_wac: 　

@kenokabe

http://goo.gl/xsawl 極座標のｒなんで、負の値はとらないし、e^(log0)=0　というのは、成立しないのですか？という質問の解答にもなっておらないようにお見受けします。　RT @afro_da_afro: ｌogxの定義域にx=<0が定義されていないはずです　

@kenokabe

もとい、、log（r）のｒは極座標のｒなので、これは実数のr>=0です。　RT @mac_wac: @kenokabe log(z)の方がより分かりやすい。角度0の方向から原点に近づけば(-)∞に飛びますが、角度πの方向から近づくと、値は振動を続けるばかり。

あふろ @afrophys

@kenokabe 極限値としては存在する。定義域には含まれない。ただそれだけでは？

@kenokabe

e^(log0)=0　というのは、極限値であるという理解でしょうか？では、一般にe^(logx)=x というのは成立しない、0の場合のみ等号でなく極限だということですか？　　RT @afro_da_afro: @kenokabe 極限値としては存在する。定義域には含まれない。

あふろ @afrophys

@kenokabe はい。

いちかわ けんと @kentosho

原点をまわる周回積分がe^zでは定義されません． RT @kenokabe: おっしゃることがよくわかりません。その「似て非なるもの」という】部分をもうちょっと説明していただけますか？　

いちかわ けんと @kentosho

発散にもいろいろあってこの場合は対数型分岐点と呼ばれるものです． RT @kenokabe: なんでしょうね？「定義されない」ていうのと値が「発散する」っていうのは別概念だと思うんですが違うのですか？　RT @afro_da_afro:

いちかわ けんと @kentosho

Wikipediaにいい絵があります．log0の0近傍ではリーマン面(リーマン球面ではないです) はこんな形をしています． http://bit.ly/hCkCpp @kenokabe @afro_da_afro

いちかわ けんと @kentosho

リーマン球面じゃなくてリーマン面です．e^zの値域はただの複素平面ではなくて複雑な形状をしています． RT @kenokabe: あと、僕がおもうのは、さっき言及されたリーマン球面では、∞が０の対照点として存在するので、さほど違和感も感じないですね。

いちかわ けんと @kentosho

複素関数論で言うと分岐点と極の違いです．@afro_da_afro RT @kenokabe: なんでしょうね？「定義されない」ていうのと値が「発散する」っていうのは別概念だと思うんですが違うのですか？　

@kenokabe

@afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kentosho なるほど。x=0のとき、e^log(x)は極限値としての0しかとらず、等号は成立しない､e^(log0)=0という出力 http://goo.gl/KUx5v は「便宜的なもの」という理解になりますね。

@kenokabe

@afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kentosho 僕は基本、複素平面が、re^iθ (r>=0)と２つの実数でばらばらに表現されているのは究極的におかしい、と思っていて、今の議論では、r=0を除外するr>0では、　e^(logr + iθ)　⇒ e^z

@kenokabe

@afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kentosho r=0を除外する実数r>0では、　e^(logr + iθ)　⇒ e^z (zは複素数)　と、複素数範囲の指数関数で、端的に表現できるので、それが本当のかたちであるとおもっています。　

@kenokabe

@afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kentosho さてここで、r=0のとき、log(r)が未定義領域であるため、そのｚ=log(r)+iθの複素数も存在せず、複素平面上の０はlog(0)→0 という極限値を使わないと埋められない表現できないとのご指摘。

いちかわ けんと @kentosho

複素数の一番大事な性質は実数を含む代数的閉体ということです．e^(log r + iθ)の形の方が役に立つことが多いのですが，代数的閉体という見方で見るとz=a+ibという書き方の方が都合がよいです． @afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kenokabe

@kenokabe

@afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kentosho 僕は最初リーマン球面のことを書いておられるとおもっていて、リーマン球面では、無限遠点 1/0 = ∞　一点を追加して整合的かつ有用となっておるので、

@kenokabe

@afro_da_afro @n0rr @mac_wac @kentosho　同様に、　e^(log(r) + iθ)　=0　となるような、極限値を追加するのは無理筋ですか？　僕はすでに書いた理由により、それで整合とれるんならば、それに超したことはないと思っているので。