真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか?

真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか?その2 (リーマン球面で立論) http://togetter.com/li/109051 一番大事なところに関する、色々な方向からの意見ですね。 続きを読む
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@kenokabe

風呂に入ってて数学のことを妄想していて、ちょっと頭いいこと思いついたので、忘れないうちにTWしてメモしておく。タイトルは、「真円周率」とオイラーの等式が何故美しくないのか?

2011-02-24 21:50:03
@kenokabe

まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。

2011-02-24 21:52:31
@kenokabe

まず、円の数学的な美しさであるが、それは、コンパスを想像してみよう。コンパスの足の尺みたいな一定の長さを、ある一点を中心としてぐるっと一回転すれば、円になる。ある点からの距離が一定(半径)の図形が円。

2011-02-24 21:56:45
@kenokabe

数学的にいうと、この半径が基準になるのは自明。直径ではない。でも円周率π(パイ)って、「円周わる直径の比率」なんだよね。ここ完全に間違ってる。数学的には、円周率とは「円周わる半径の比率」にすべきだった。  

2011-02-24 22:00:44
@kenokabe

逆に言うと、「円周 = 直径 x 円周率3.14...」に今なってしまってるけど、ほんとうは、「円周 = 半径 x 円周率6.28...」として欲しかったの。

2011-02-24 22:01:49
@kenokabe

円周率が直径ベースになったのは、おそらく、それが歴史的に工学的にそっちのほうが便利だったから。直径はノギスですぐ測れるからね。半径、、なんていうと、その計測しやすい直径をいちいち2で割らなくちゃいけないから。

2011-02-24 22:03:26
@kenokabe

そこで半径ベースの「真円周率」を設定することにする。それを、【φ(ファイ)】としよう。 φ = 2π だ。 円周を求める公式は、半径をrとすると、円周=2πr でなく、 円周=φr となる。 これは、φをそう定義したので自明。 

2011-02-24 22:07:19
@kenokabe

面積は、 πr^2 だが、 1/2φr^2 となる。 

2011-02-24 22:09:26
@kenokabe

とにかく、数学でも物理でも、やたら2π、2πってでてくるわけ。 「その2ってなんだよw」とずーっと思っているし、それは円周率の初期設定が半径でなく直径にしてしまったので、そこで2倍する辻褄合わせしてるんだね。2がいちいち表記されるせいで、とても式の見通しがわるいし、美しくない。

2011-02-24 22:12:50
@kenokabe

ラジアン=弧度法、という表記法がある。 円周の長さが角度とばっちり呼応してるんで、そっち使おうやという数学的に洗練された表記法。単位円=半径1の円周の長さは2πなので、360度=2πラジアンと表記される。もしさ円周率が直径ベースでなく半径ならばただのπだ。今はそれをφと定義した。

2011-02-24 22:17:05
@kenokabe

オイラーの等式 - Wikipedia - http://goo.gl/YhGR e^iπ+1=0 これ、もっとも美しい数学の等式であると、いわれている、が、僕はそうは思わない。理由は、πだからだ。φならば、それよりも美しくなる。ここから結構深淵な議論に移行する。

2011-02-24 22:20:26
@kenokabe

オイラーの公式 - Wikipedia - http://goo.gl/Pjxb e^iθ = cosθ + isinθ ってのは、指数関数と三角関数が複素数の世界で等価ですよ、っていう意味だけど、 これはガウス平面上の原点中心、半径1の単位円を表している。角度θはなんでもあり。

2011-02-24 22:24:16
@kenokabe

オイラーの等式とは、その単位円上の点が、ぐるっと180度回ったとき、ラジアンでいうとπラジアンまわったときに、-1になるので、 e^πi = -1  両辺に1足せば、 e^πi+1=0 です! っていってるわけだ。 でもね、φ=2π ならば、どうなるか? e^φi=1 となる。

2011-02-24 22:28:08
@kenokabe

オイラーの等式は0もあるから美しんだよ!という異論が余裕で予想されるが、まだ話は終わってない。ここからだ。 僕は両辺に1を足したりするかわりに、こう変形したい⇒ e^(0+iφ)=1   ほら、0があるじゃない。  0 1 i φ e 全部ある。 

2011-02-24 22:31:25
@kenokabe

e^(0+iφ)=1  そしてこの等式には、オイラーの等式なんかにはない、重大な意味がある。

2011-02-24 22:31:52
@kenokabe

e^(0+iφ)=1  というのは、要するに、 e^(複素数)=1 という形になっているの。これが重要。 複素数平面(ガウス平面)上の任意の点=数は、e^(複素数)で表現できる。 

2011-02-24 22:36:28
@kenokabe

ガウス平面上の数を大きさr、角度θの極座標を使うと、 re^iθ となるけど、 これ r= e^log r なので、 re^iθ = e^(logr +iθ) って、eの指数関数の変数としてまとめることができる。複素数の変数。

2011-02-24 22:38:37
@kenokabe

e^(0+iφ)=1 っていうのは、つまり、その形になってるわけ。 eの指数関数の変数が 0+iφ という複素数ですよ、そのときの値は1ですね、っていう等式。

2011-02-24 22:40:44
@kenokabe

e^(0+iφ)=1 という等式がある。  1x1=1 というので、検証してみよう。 e^(0+iφ) x e^(0+iφ) = e^(0+0+ iφ+iφ) = e^(0+2iφ)  でもね、φてラジアンで360度の一回転のことなので、2φの2回転でも同じ角度になるの。  

2011-02-24 22:44:04
ICHIKAWA Kento(おにぎり) @kentosho

円の面積がπr^2/2は嫌だ.RT @kenokabe: まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。

2011-02-24 22:47:51
@kenokabe

つまり、 1x1= e^(0+iφ) x e^(0+iφ) = e^(0+2iφ) = e^(0+iφ) =1 となる。 同じように、 e^(0+3iφ) でも同じ。 = e^(0+iφ) となる。ちなみに e^(0+0iφ)=e^0=1 φは不変の単位であるのがよくわかる。

2011-02-24 22:49:24
@kenokabe

これπだったら、ラジアンで半周っていう中途半端な数なので、符号がプラスマイナス、安定しない。不変ではない。φだと普遍で、角度の世界の1みたいな働きを示す。 

2011-02-24 22:50:53
@kenokabe

オイラーの等式 - Wikipedia - http://goo.gl/YhGR e^iπ+1=0 の「+1」なんて、数学的になんの意味もない。後でとってつけた感が丸出しだし、単項式でないのが気持ち悪い。 しかし、円周率πでなく真円周率であるφを採用すると、e^(0+iφ)=1

2011-02-24 22:54:52
ICHIKAWA Kento(おにぎり) @kentosho

0は? RT @kenokabe: e^(0+iφ)=1  というのは、要するに、 e^(複素数)=1 という形になっているの。これが重要。 複素数平面(ガウス平面)上の任意の点=数は、e^(複素数)で表現できる。 

2011-02-24 23:00:37
@kenokabe

e^(0+iφ)=1 というのは、e^(複素数)という数の表記法そのものであり、その複素数= 0+iφ ← 実部によるスケールはlog0=1 虚部による角度 0i (ラジアン0とφ は一周するので同じ)  はもっとも基本的な定数になっている。

2011-02-24 23:00:37
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コメント

岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月25日
だいたい、数学的に最も本質的で美しいといわれるオイラーの公式は、あれ極座標形式だ。cosθ+isinθの「a+bi」の部分もまずθという回転要素があり、極座標へ橋渡ししている。僕こう言うの、めっちゃ基本的なコンセンサスだと思うんだけど、それ共有しない研究者がこうやって普通にいるのが、かなり驚きなんだよね。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月25日
同時に、オイラーの等式 e^iπ+1=0 の美も、これ極座標だから出てくるの。 僕は、それよりも、φ=2π とした「真円周率」をもって、 e^(0+iφ)=1 という等式になる。これは複素数z=0+iφ(この数自体がすごい意味がある) で e^z=1 という美しい形になってるよね?という論考。 
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月25日
e^z=1 っていうのは、 z=0+iφ ← 実部0=log(1) であるので r=1 これ「大きさ1の数」単位円のなかで、 φ角度=360度の一周まわったところにある点で、それが1であるという意味だ。 これは大きさ1、角度360度あるいは=0度の数であるので、掛けても不変、x1が不変であることと対応している。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月25日
ただし、ここで、複素平面の極座標の原点、数の大きさのr=0のとき、log(r)が未定義領域であるため、そのz=log(r)+iθ という複素数も存在せず、複素平面上の0はe^log(0)→0 という極限値を使わないと埋められない表現できないとのご指摘があった。僕はそれ致命的な欠点どころか本質論であり、リーマン球面の無限遠点みたいに拡張したら?と思っている。
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ぽよぽよまん @pollopoyoman 2011年2月25日
円周=φr, 面積=1/2φr^2 こうやって見ると、あー積分なんだーってわかりやすい。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月25日
そのとおりですよね。僕もそうおもってます。
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樫尾キリヱ@ヘンな美魔女 @kassy_jpn 2011年2月25日
tgの機能で、一つのtg内で、発言をツリーにできるといいな。一階層でも…。階層作って放り込む感じで…
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樫尾キリヱ@ヘンな美魔女 @kassy_jpn 2011年2月25日
あとさ、アイコン表示サイズ小とかあればいいかもw なんでかって?w なんでかねw
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樫尾キリヱ@ヘンな美魔女 @kassy_jpn 2011年2月25日
あと、あるまとめで一定数以上発言がピックアップされた人に通知する機能→自動じゃなくてその機能を選ぶと通知、みたいなのあったらいいね。
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Shiro Kawai @anohana 2011年2月25日
2π基準にすべきだった、という話は既出。Palais, "π is wrong", The Mathematical Intelligencer, 23(3), pp.7-8, 2001. http://www.math.utah.edu/%7Epalais/pi.pdf
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Futoshi Kawashima @F_kawasy 2011年2月25日
面白いなぁ。音楽家としては、和声と別の要素、リズムの部分を撤回された@kenokabeさんに感心しました。
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J.O @ori_jun 2011年2月25日
大学受験のとき、複素数からの出題だけど極座標で考えると簡単に解けちゃう問題とかあったなぁ。懐かしい。
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bra-ketくん @mac_wac 2011年2月26日
ここには収録されていないtweetでも述べましたが、RTされた僕の発言の「角度πの方向から近づくと、値は振動を続けるばかり。」という部分は誤りです。訂正してお詫び申し上げます。
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近藤 陽介 @ykondo813 2011年2月26日
なんというか、数学屋さんのいうことも最もだと思います。複素数の極座標表示は確かに美しいと思いますし、πの話も頷ける部分もあります。しかし、コンセンサスや本質という言葉で結論付けるのはいささか早急かと思いました。
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Yuta Motoshima @yutamoto 2011年2月26日
「本質」という定義されない言葉を議論にしかも多様に用いているから混乱する気がする。とりあえずシュレディンガー方程式は極座標でないし、logrを使うのは複素解析上美しくない。には同意。きっちりそこだけ反論されてないのがなんともいえない。
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どりドリ@ピコリーノ @d_doridori 2011年2月26日
論旨は納得できる個所もあるけど無闇に敵を作ってしまう口調だな。本人は正しいと思っているから何が悪いのか分からないと思うけど。他山の石として気をつきよう(ボソッ)
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ICHIKAWA Kento(おにぎり) @kentosho 2011年2月26日
あらゆるトンデモさんに言えることだけれども、長い数学と物理の歴史の中では、自分ができる程度の思い付きは他の誰かがしていて、そして本人あるいは別の誰かによって否定されているはずだ。という謙虚さがないんですよね。少なくともWikipediaに書いてある程度のことは大学院程度の数学や理論物理を学ぶ者にとっては当然かつWikipediaの方が間違っていることもままある。ってことすら受け入れられないのは傲慢としか言いようがないです。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
まず、最初に僕はトンデモではありません。それにここで断定的に言及している「真円周率」のことだって、ちょっと気が利いた人間ならば、すぐ思いつくことだろうと思うし、事実僕は検索して、同じ考えの人が少なからずいるってのは知っていた。しかしね、このログで明らかだが、 @kentosho 氏は、まず最初に、「円の面積がπr^2/2は嫌だ」 と、反応した。ここで2つ可能性がある。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
ひとつめ、まず、このφ=2πの事について発想がなかった。ふたつめ、その発想程度は当然あったが、そういう半径ベースのほうがいい、という事について同意できるだけのセンスがない。以上のふたつの可能性、いずれにせよ、「大学院程度の数学や理論物理学を学ぶモ者」の水準が一定ではないよなあ、と普通に追認できるものであり、事実僕は、こういう「教育に自信をもってそうな人」から、それは嫌だ!みたいに言われて、あー、そうなんだ、、と思った。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
「大学院程度の数学や理論物理学を学ぶ者」の水準について、今日、僕は、この議論に準じて、「数学と物理の関係」についてはなしていて以下のようなやりとりがあった。 http://goo.gl/jcln3 http://goo.gl/lcNmh http://goo.gl/nWyUT http://goo.gl/SRnP9 http://goo.gl/Y2Vnn
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
僕は、誠実に回答したつもりですが、質問者である、@YuuzaKaeta は僕の回答にたいし、無視したあげく、反応はだいたい以下のとおり、 http://goo.gl/MBbaT http://goo.gl/cUYy8 http://goo.gl/sfY0J http://goo.gl/8F6WN つまり、「人間原理」の概念をWikipediaでひかないと知らない、さらに「興味がない」と言っている。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
僕もね、当初は、@kentosho さんと同じような主観あるいは、期待を抱いていたんですね。まあだいたい皆そうだろうと。でも、Twitterでいろいろ見る間に、そういう理論物理の大学院生、僕は現在おそらく彼らが一番「傲慢」であると今は観察しているけども、「傲慢」なわりに、ほとほとレベルが低いのがわかってきた。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
上でリンクした、質問のやりとりを見ていただければわかると思いますが、僕は「彼の質問」に呼応して、適切な回答を出すために「人間原理」を持ち出したわけであるが、それを「詭弁である」「難しいことが出てきたら人間原理持ち出せばいいんだから一般市民の物理概念なんて簡単なもんだ」とかいう。まあ、せいぜい彼らはこんなレベルであるわけです。@kentosho 氏の言葉でいうと「傲慢」であるのは彼らであり、Wikipediaレベルでいっても致命的に無知であるのが追認できる。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
僕は普段から、というか、むしろTwitterでやりとりするようになってから、そういう、「馬鹿な物理屋」の存在を強く認知するようになったし、正直ね、@kentosho さんも、一発目のπr^2/2は嫌だ、と、まあいきなりタメ口で、僕はしばらく無視したわけだが、たいしたことないんだろーなー、って全然信用していなかった。今もしていませんよ?もちろん。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
@kentosho の直近のコメントの後半は、要するに、そういう「教育に自信のありそうな人」まあ往々にして、修士や博士課程の学生であるが、その連中の言うことを受け入れろ、傲慢だ、というようなポジショントークなわけです。もちろん、彼らの存在、言説と独立して、僕の知的態度が傲慢だ、という批判も含まれているだろうが、これにつては後述。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
僕は、おそらく、彼の最初のコメントがああいうものでなければ、続くコメントが「0は?」みたいなぶっきらぼうなものでなければ、さらに続くコメントが「お気づきでしょうか?」みたいなものでなければ、「ああ、この人は傲慢な例の連中とは違うのだな」と、もう少し敬意をもって、知的誠実さをもって話を謹聴したことだろうと思います。ごめんね。だって君印象悪いんだもんw
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
僕が本件で、やりとりしたなかで、一番誠実で、理解が深かった方は、@ranaluta さんです。この方とも当初誤解があったのですが、それを解いた上で、今日、僕が疑問に思ってることを質問して詳細なご回答をいただき、深謝しました。この件は、数学体系の概念拡張であり、僕はそれについて指摘を頂くことについてかなり警戒していたというか、ほんとうにわかってるの?みたいな疑念が強かった。事実、結構突っ込まれ方がちぐはぐで、総体の指摘に整合性があるようにおもわなかったのです。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
つっかかれ感がまずあり、相手は傲慢な大学院生が中心であり、トピックがこのとおりなので、僕は基本相手をあんま信用していなかった。これは単なる懐疑的な態度であり、そのまま鵜呑みすることを了解しなかっただけです。知ってる知らないよりも慎重なだけ。相手が傲慢であるとも認識していたので、とりあえずの礼も言うつもりもなかった。要するに、@kentoshoさんの言説に現れてるように「生意気だ、言うことを聞け、黙れ」みたいなトーンだし。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
以上のことは、僕の、論理や学問への敬意の欠損、知的誠実さ、無知の知、とは話が全く違います。 むしろ話は逆で、、@kentosho氏の傲慢な態度も含め、僕はそういう連中の言説を知的な態度をもって警戒したんですよ。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
傲慢な物言いをずっとしていた理学部の学生(多分ね)は、 @YuuzaKaeta さんだけ名前を出すのは公平じゃないので、後はこの辺かなあ。傲慢な理学部の学生。@MasashiSalvador  @bluesy_k   @faogr 僕のことを電波であると合意してたみたいだけども、まあ「物理のモデル化を知らない」とか「数学の万能感にあこがれている」とか、まあ安い決めつけをされました。@mitsuomi_miyata: に至っては量子力学のことを「新規性」のある主張だ!と言われました(苦笑
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月26日
以上、なんだろう、僕が見る限り、@kentosho さんが主張するような、理学部の大学院生ならどうちゃら、みたいに言えないのではないかな、ってのを僕はむしろ今回再確認した。日本の理系大学生の教育って、もうちょっと学部卒の段階でなんとかそういう物理なら物理の教養をつけさせるように調整したほうがいいんじゃないだろうか。
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ICHIKAWA Kento(おにぎり) @kentosho 2011年2月27日
公平の為にいっておきますとπ=6.28...とするアイディアは悪くないんですよ。物理や数学の中で2πの形で出てくる例は非常に多いですし。「嫌だw」といったのはまともに反論できないことへの自嘲的表現ですよ。しかし、あくまで数学の中身で反論したのにそれを権威主義的反駁と捉えられたのは残念です。あとリーマン面とリーマン球面は違うものですから気をつけてください。
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樫尾キリヱ@ヘンな美魔女 @kassy_jpn 2011年2月27日
togetterに一種類のコメを植えすぎないように。他の農作物が育ちにくくなります。
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年2月28日
Togetter - 「馬鹿な物理屋」が軽視する「人間原理」と「ペンローズの三角形」そして「物理は数学の一部である」 - http://goo.gl/4fUvc
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岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年3月1日
久徳浩太郎 @life_wont_wait 「市民に量子論は早すぎる」   なるほど名言だ。これ全力で普及させようか。で、君は市民じゃないの?「アカデミア」?なにそれ「市民」より偉い人? 
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kartis56 @kartis56 2011年3月15日
なぜ美しくないか、それは美的感覚の違いでしょ。
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@MIZOROGI777 2015年6月14日
kenokabe kentosho 0以外の複素数をe^(a+bi)で表わし、e^(a+bi)と全てのe^(a+bi+2πni)を、特に断わりのない限りそれぞれ区別し同一視しない場合、無限葉リーマン面で複素数の累乗を考えているのと同じ事になると思います。 つまり、指数法則が完全に成り立ちます。 (高卒の素人愛好家より)
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@MIZOROGI777 2015年6月14日
MIZOROGI777 bi乗とその他のbi+2πni乗をそれぞれ区別して扱うだけで、リーマン面と同じ効果を得られ、複素数の指数法則が完全に成り立つようになるので、0を特異点としても採用する価値はあると感じます。 ただし、A+Biをe^(a+bi+2πni)に変換する時には一意には定まりません。 2πを一文字で表わすのも良いですね。 半周じゃなくて一周ですからね。
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@MIZOROGI777 2015年6月14日
MIZOROGI777 ついでに申し添えるならば、このように区別した場合、任意の複素数から1(の0乗)を通って0へと向かう螺旋が、ただ一本だけ描ける事になり、i乗とは、その螺旋を、1を基軸に90°回転させる事に他ならない訳ですね。
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月餅 @geppeeee 2015年6月24日
「人類は円周率の設定をミスった」という大前提は、私も子どもの頃に「半径を基準にしたほうがいいのに」と感じていたものだった。すっかり忘れていた。なんだか懐かしいものに出会った気分。
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@MIZOROGI777 2015年7月15日
τ (数学定数) Wikipedia「τ(タウ)は、一部の研究者により、現在の円周率πに代わるべき数学定数として提唱されている数であり、円の周長の半径に対する比率として定義される。その値は、約6.28319である。 」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%CE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%9A%E6%95%B0)#
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koromon @yamadian 2015年10月22日
本質とは程遠い単なるこだわりの話だから触らないのが一番
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ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
こう云う発想の転換は速算/暗算やプログラミングの世界では能くある事なので。逆に、こう云う発想を圧殺しようと云う"#同調圧力"を、うちは否定します。それは"#いじめと云う名のテロ"でしかないのです。でも学術の世界のテロは本当に多いですよ、物語から史実から…orz。
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ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
歴史的な"τ"変数に対する"車輪の再発明"を否定するテロリストに対する戦いが始まった。好いまとめです。
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ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
驚愕の事実を発見。ここで争われている事態は実は、"#Hilbertsche_Probleme_No6"と全く同じ事を論じていたのだった。だから面白い論争だったのだ。
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堀英彰 @qajin 2017年8月12日
似たような話は繰り返し出てきますね オイラーの等式よりも美しい http://qiita.com/koher/items/05a31a8ca28653dc4bdb 「三角関数の底」という概念が美しい。そしてこの説明からτを底として取るのも自然と出てくるのが素晴らしい。
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両棲装〇戦闘車太郎 @d2N5Q4GciZtsa2e 2017年9月10日
工学やってた身としては、ソレでもπ≡3.14159...の方が使いやすい場面が多いからτ≡2πは嫌だな
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なかじん @kinojima4274_DX 2019年1月16日
e=2.71…と、2π=6.28…を見て足してみたら” e + 2π = 9.0014… ”で、ほぼ9なんですね。確かにこれは2π基準の方がいいかも。
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なかじん @kinojima4274_DX 2019年1月16日
あと物理の運動のmvと似ているのも真理ですかね。 この世の中フラクタル多いですしお寿司。
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