真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか？その２

@kenokabe

ガウス平面上の数を大きさｒ、角度θの極座標を使うと、　re^iθ　となるけど、　これ　r= e^log r なので、　re^iθ　= e^(logr +iθ)　って、eの指数関数の変数としてまとめることができる。複素数の変数。 ＊ただし　r>0　r=0のとき原点は特異点。

@kenokabe

前回、誰かから「0は？」「∞は数じゃないですよ」みたいにつっこまれたときに、すばやく、なぜこのように立論しなかったのか？あれだけど、以下のようにする。

@kenokabe

リーマン球面- Wikipedia - http://goo.gl/eZQb8 Riemann sphere - Wikipedia - http://goo.gl/NUPc http://twitpic.com/471ub8 を使う。無限遠点∞を一点追加して複素平面を拡張する。

拡大

@kenokabe

このとき、定義として、0と∞は互いに逆数。　1/0 = ∞

@kenokabe

0 = 1/∞　より、両辺対数を取ると、　log(0) = log(1/∞)

@kenokabe

e^(log0) = e^log(1/∞) = e^(log1 - log∞) = e^(0-∞) = e^(-∞) = 1/e^∞ = 1/∞ =0

@kenokabe

リーマン球面上の1点（∞を追加した複素数）　e^(log(r) +iθ)において、r=0　のとき、 e^(log0 + iθ) = e^(log0) x e^(iθ) = 0x e^(iθ) = 0

@kenokabe

このように、r>=0において、リーマン球面では、拡張複素数は、原点０含め、もれなく指数関数(極形式の拡張複素数)の形で表現出来る。

@kenokabe

リーマン球面において、指数関数（拡張複素数）のとき、その変数の実部はリーマン球面の緯度（高さ要素）になり、その変数の虚部は、リーマン球面の方位（回転要素）となる。