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真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか?その2

真円周率とオイラーの等式は何故美しくないか? http://togetter.com/li/105242 の、続きですね。
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@kenokabe

ガウス平面上の数を大きさr、角度θの極座標を使うと、 re^iθ となるけど、 これ r= e^log r なので、 re^iθ = e^(logr +iθ) って、eの指数関数の変数としてまとめることができる。複素数の変数。 *ただし r>0 r=0のとき原点は特異点。

2011-03-07 16:10:51
@kenokabe

前回、誰かから「0は?」「∞は数じゃないですよ」みたいにつっこまれたときに、すばやく、なぜこのように立論しなかったのか?あれだけど、以下のようにする。

2011-03-07 16:15:51
@kenokabe

リーマン球面- Wikipedia - http://goo.gl/eZQb8 Riemann sphere - Wikipedia - http://goo.gl/NUPc http://twitpic.com/471ub8 を使う。無限遠点∞を一点追加して複素平面を拡張する。

2011-03-07 16:18:57
@kenokabe

このとき、定義として、0と∞は互いに逆数。 1/0 = ∞

2011-03-07 16:20:26
@kenokabe

0 = 1/∞ より、両辺対数を取ると、 log(0) = log(1/∞)

2011-03-07 16:45:36
@kenokabe

e^(log0) = e^log(1/∞) = e^(log1 - log∞) = e^(0-∞) = e^(-∞) = 1/e^∞ = 1/∞ =0

2011-03-07 16:59:10
@kenokabe

リーマン球面上の1点(∞を追加した複素数) e^(log(r) +iθ)において、r=0 のとき、 e^(log0 + iθ) = e^(log0) x e^(iθ) = 0x e^(iθ) = 0

2011-03-07 17:01:24
@kenokabe

このように、r>=0において、リーマン球面では、拡張複素数は、原点0含め、もれなく指数関数(極形式の拡張複素数)の形で表現出来る。

2011-03-07 17:14:41
@kenokabe

リーマン球面において、指数関数(拡張複素数)のとき、その変数の実部はリーマン球面の緯度(高さ要素)になり、その変数の虚部は、リーマン球面の方位(回転要素)となる。

2011-03-07 17:50:50

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