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0と無限と無理数と

『0と無限は慎重に取り扱ってください』と僕は偉い人に言われたのですがどうやらそれほど慎重に取り扱わない方もいらっしゃるようで。 別個にまとめたものがこちらにありましたのでご紹介。 ほとんどかぶってれぅ……。 http://togetter.com/li/105242 続きを読む
複素数 円周率 極座標
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@kenokabe
風呂に入ってて数学のことを妄想していて、ちょっと頭いいこと思いついたので、忘れないうちにTWしてメモしておく。タイトルは、「真円周率」とオイラーの等式が何故美しくないのか?
@kenokabe
まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。
@kenokabe
まず、円の数学的な美しさであるが、それは、コンパスを想像してみよう。コンパスの足の尺みたいな一定の長さを、ある一点を中心としてぐるっと一回転すれば、円になる。ある点からの距離が一定(半径)の図形が円。
@kenokabe
数学的にいうと、この半径が基準になるのは自明。直径ではない。でも円周率π(パイ)って、「円周わる直径の比率」なんだよね。ここ完全に間違ってる。数学的には、円周率とは「円周わる半径の比率」にすべきだった。  
@kenokabe
逆に言うと、「円周 = 直径 x 円周率3.14...」に今なってしまってるけど、ほんとうは、「円周 = 半径 x 円周率6.28...」として欲しかったの。
@kenokabe
円周率が直径ベースになったのは、おそらく、それが歴史的に工学的にそっちのほうが便利だったから。直径はノギスですぐ測れるからね。半径、、なんていうと、その計測しやすい直径をいちいち2で割らなくちゃいけないから。
もにょたん @monyotano
@kenokabe 無理数を2倍しても無理数だけど2で割り切れる無理数… いやなんでもないです
おー3 @ooooooooo3
頭いいコトw? RT @kenokabe: 風呂に入ってて数学のことを妄想していて、ちょっと頭いいこと思いついたので、忘れないうちにTWしてメモしておく。タイトルは、「真円周率」とオイラーの等式が何故美しくないのか?
おー3 @ooooooooo3
面積は… RT @kenokabe: 逆に言うと、「円周 = 直径 x 円周率3.14...」に今なってしまってるけど、ほんとうは、「円周 = 半径 x 円周率6.28...」として欲しかったの。
@kenokabe
そこで半径ベースの「真円周率」を設定することにする。それを、【φ(ファイ)】としよう。 φ = 2π だ。 円周を求める公式は、半径をrとすると、円周=2πr でなく、 円周=φr となる。 これは、φをそう定義したので自明。 
@kenokabe
面積は、 πr^2 だが、 1/2φr^2 となる。 
suzuki hiroco @hiroco2003
電流の向きも。時間の向きも?RT @kenokabe: まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。
@kenokabe
とにかく、数学でも物理でも、やたら2π、2πってでてくるわけ。 「その2ってなんだよw」とずーっと思っているし、それは円周率の初期設定が半径でなく直径にしてしまったので、そこで2倍する辻褄合わせしてるんだね。2がいちいち表記されるせいで、とても式の見通しがわるいし、美しくない。
森 勇 (もりいさむ) @0136
@kenokabe 円周を求める公式としてはφ(仮)のほうがシンプル。でも面積の公式はπのほうがシンプル。でも、「円周」率という名称なら、円周を求めるときにシンプルであるべき。と。
Ryoichi ISHIDA @kool_mint
確かにそう感じたことはある。RT @kenokabe: とにかく、数学でも物理でも、やたら2π、2πってでてくるわけ。 「その2ってなんだよw」とずーっと思っているし、……美しくない。 http://ow.ly/42xOT
@kenokabe
ラジアン=弧度法、という表記法がある。 円周の長さが角度とばっちり呼応してるんで、そっち使おうやという数学的に洗練された表記法。単位円=半径1の円周の長さは2πなので、360度=2πラジアンと表記される。もしさ円周率が直径ベースでなく半径ならばただのπだ。今はそれをφと定義した。
@kenokabe
オイラーの等式 - Wikipedia - http://goo.gl/YhGR e^iπ+1=0 これ、もっとも美しい数学の等式であると、いわれている、が、僕はそうは思わない。理由は、πだからだ。φならば、それよりも美しくなる。ここから結構深淵な議論に移行する。
@kenokabe
オイラーの公式 - Wikipedia - http://goo.gl/Pjxb e^iθ = cosθ + isinθ ってのは、指数関数と三角関数が複素数の世界で等価ですよ、っていう意味だけど、 これはガウス平面上の原点中心、半径1の単位円を表している。角度θはなんでもあり。
@kenokabe
オイラーの等式とは、その単位円上の点が、ぐるっと180度回ったとき、ラジアンでいうとπラジアンまわったときに、-1になるので、 e^πi = -1  両辺に1足せば、 e^πi+1=0 です! っていってるわけだ。 でもね、φ=2π ならば、どうなるか? e^φi=1 となる。
@kenokabe
オイラーの等式は0もあるから美しんだよ!という異論が余裕で予想されるが、まだ話は終わってない。ここからだ。 僕は両辺に1を足したりするかわりに、こう変形したい⇒ e^(0+iφ)=1   ほら、0があるじゃない。  0 1 i φ e 全部ある。 
@kenokabe
e^(0+iφ)=1  そしてこの等式には、オイラーの等式なんかにはない、重大な意味がある。
@kenokabe
e^(0+iφ)=1  というのは、要するに、 e^(複素数)=1 という形になっているの。これが重要。 複素数平面(ガウス平面)上の任意の点=数は、e^(複素数)で表現できる。 
@kenokabe
ガウス平面上の数を大きさr、角度θの極座標を使うと、 re^iθ となるけど、 これ r= e^log r なので、 re^iθ = e^(logr +iθ) って、eの指数関数の変数としてまとめることができる。複素数の変数。
@kenokabe
e^(0+iφ)=1 っていうのは、つまり、その形になってるわけ。 eの指数関数の変数が 0+iφ という複素数ですよ、そのときの値は1ですね、っていう等式。
@kenokabe
e^(0+iφ)=1 という等式がある。  1x1=1 というので、検証してみよう。 e^(0+iφ) x e^(0+iφ) = e^(0+0+ iφ+iφ) = e^(0+2iφ)  でもね、φてラジアンで360度の一回転のことなので、2φの2回転でも同じ角度になるの。  
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コメント

緑なお化け @greengrimghost 2011年2月25日
とりあえず議論の流れだけ簡単に追っていく形で投稿。 僕の周りの反応はちょこちょこ付け足す形で。
Virtue (ヴァーチェ)⛎ @JAPONIUM 2011年2月26日
面白かった!意味分からなかったけど。
lastline@Romancing BA・KE3 @lastline 2011年2月26日
だから、美しさとか本質なんて曖昧な言葉ではなくて単純と言えばいい。そして、0の取り扱いが単純ではない。複素数や波動方程式の本質が極座標のいう当たり、実際に扱ったことないんだね。
清水悠 @YewShmz 2011年3月3日
この真円周率という概念は面白い。 今時複素数の四則演算を手計算でやらないとならない道理は全くないので、直交座標でも極座標でも必要に応じて好きな表現形式を選べばいいだけだと思う。 私の仕事の一つは物理シミュレーション演算のプログラムの改善なのだが、複素数を極座標で扱ったほうがシンプルになるケースが散見されることを当然に思い出す。
岡部 健 / Ken OKABE @kenokabe 2011年3月7日
これも、「トンデモさん」のコメントで終わらす印象操作だな。やれやれ。アンフェア。当初、∞の扱いついて杜撰であったのは認めるが、話は当然これで終わりではない。
ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
プログラムやる人間にとってはこう云う発送の転換も重要なのです。好いまとめネタです。
ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
これ、トンデモ理論どころか、もっと云うと、"とんでもなく本質の経絡秘孔を突いている"闘技で興味深く拝見させて戴いております。この論争は嘗てMachやHelmholtzと云った学者もやってる"実体のあるなしを数理物理学に導入すべきか否か"と同一の内容。
ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
そして、"真円周率"が式を簡便平易に簡略化すると云う主張から、Diracの主張も見え隠れするのに驚きました。オカベさんみたいな"鳳凰院凶魔"を世間は否定したいでしょうが、そんなオカリンがいてこその学術社会の発展だと、うちは信じます。
ちいさいおおかみ〜クリアカード編〜 @siu_long 2016年9月20日
YewShmz これを"実体指向プログラミング(OOS)"的に考えると、"全ての演算子はその方法定義を複素数種類に限定する事が出来る"と云う事になるのですよね。型推論が単純化されそうです。
堀英彰 @qajin 2016年9月20日
「極座標表示の方が本質的」ってのはある意味当たってるんちゃうかなぁ…。a+biの直交座標表示だと1とi(実部と虚部の基数)の関係(角度)を「90度直交」と「別途」定義してやらなくちゃいけない。そしてこう定義しないとガウス平面上の回転演算を定義できない。「足し算云々」言ってる人いたけど、足し算だけなら実部と虚部が直交じゃなくても成り立つんよね…数直線上の実数で閉じるから。
堀英彰 @qajin 2016年9月20日
「回転」を考えると実数から虚数への射影を考えなくちゃいけなくなるから最初から定義に回転を含んでいる極座標の方が有利になるのは当たり前。そして回転の基数を1回転にするってのもまぁ妥当な話だと思う
なかじー @kinojima4274_DX 2019年1月16日
真円周率ってのはなるほどって思った。皆さんおっしゃる通り「本質を突いてる」ように感じる。時代が追い付いてない感あるよね。 ただ、お互いに理解し合おうとしてないよね。kenokabeさんも「故意に挑発」してるわけだし、たとえ選別だとしてもわざわざ反発を招く話し方はちょっともったいなく感じるかな。 議論されてたのは2011年だし、リンクもほとんど切れてる。ブログも閉じてるみたいだし、伸びしろを感じるんだけどなぁ…。
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