10周年のSPコンテンツ!
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y. @waidotto
コンセプト:定理がたくさん証明される #kansaimath407
りとそん @ritosonn
みんな大教室にいるとおもって小さいほうの教室に来たらtweetdeckマンが最前列にたくさんいる… #kansaimath #kansaimath407
alg_d @alg_d
将軍「今回のコンセプトは、定理がたくさん証明されます!」 #kansaimath #kansaimath407
alg_d @alg_d
アンケートに印象深い定理を書いて集計する #kansaimath #kansaimath407

集計するほどたくさん集まりませんでした。

alg_d @alg_d
ωは非負整数の集合、\mathbb{Z}^+ は正整数の集合 #kansaimath #kansaimath407
y. @waidotto
約束:空間はT_1(1点は閉),近傍といったときは開とは限らない,ω={0,1,2,…},ℤ^+=ω∖{0} #kansaimath407
alg_d @alg_d
X: 集合, u, v∈PPX A⊂Xのuに関する星とはu(A) := ∪{ U∈u | U∩A≠0 } #kansaimath #kansaimath407
y. @waidotto
Def: X:集合,𝕌,𝕍∊2^2^X,A⊂Xの𝕌に関する星とは,𝕌(A):=⋃{U∊𝕌:U∩A≠∅}のこととし,𝕌({x})=𝕌(x)と書く. #kansaimath407
y. @waidotto
𝕍が𝕌の細分であるとは,∀V∊𝕍∃U∊𝕌 V⊂Uとなることであり,U≻Vと書く. #kansaimath407
alg_d @alg_d
vがuの細分(u>vと書く) ⇔ ∀V∈v, ∃U∈u, V⊂U #kansaimath #kansaimath407
y. @waidotto
𝕌∧𝕍={U∩V:U∊𝕌,V∊𝕍} #kansaimath407
y. @waidotto
Thm(Alexandroff-Urysohn;Frink)(T_1)空間Xについて次は同値:(0)Xは距離化可能 #kansaimath407
y. @waidotto
@waidotto (1)被覆の列{𝕌_n}_nであって,各x∊Xに対し{𝕌_n(x)}_nがxにおける近傍基をなし,U,U'∊𝕌_{n+1},U∩U'≠∅とすると∃U''∊𝕌_n, U∪U'⊂U''
alg_d @alg_d
【定理】空間Xについて次は同値 (0) Xは距離化可能 #kansaimath #kansaimath407
alg_d @alg_d
(1) 被覆の列 { v_n }_n であって,各x∈Xに対して { v_n(x) }_n が x における近傍基をなし, V, V'∈v_{n+1}, V∩V'≠0 とすると ∃V''∈v_n, V∪V'⊂V'' #kansaimath #kansaimath407
y. @waidotto
@waidotto (2)各x∊Xは次のような近傍基(V_n(x))_nをもつ (i)i,j∊ℤ^+ i<j⟹V_i(x)⊃V_j(x) (ii)∀x∊X∀i∊ℤ^+∃j(x,i)>i V_j(x,i)(x)∩V_j(x,i)(y)≠∅⟹V_j(x,i)(y)⊂V_j(x)
alg_d @alg_d
(2) 各x∈Xは次のような近傍基(v_n(x))_nをもつ (i) i, j∈Z^+でi<jならばv_i(x)⊃v_j(x) (続く) #kansaimath #kansaimath407
alg_d @alg_d
(ii) ∀x∈X, ∀i∈Z^+, ∃j(x, i)>i, v_{j(x, i)}(x)∩v_{j(x, i)}(z) ≠ 0 ならば v_{j(x, i)}(z) ⊂ v_i(x) #kansaimath #kansaimath407
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