四角形についてのあれこれ

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

@alytile あそびをせんとやさんでも紹介されてるのですね。 数セミ，図書館で探してみます

みよしじゅんいち @nosiika

@alytile @Polyhedrondiary 数セミの記事は記憶にありました。濱中さんが関係されていたのですね。

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ピトーの定理は図を見るだけで証明が理解できるけど，その逆の証明はちょっと手間。 Pitot Theorem Quadrilaterals cut-the-knot.org/Curriculum/Geo… pic.twitter.com/CKNyWjXj0T

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＜ＮＡＯ＞ pixivでrequest待ってます! @naotosi_ap

@Polyhedrondiary 話は別ですけど、メネラウスの定理とチェバの定理を思い出しますね。

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なんせ逆の証明は一世紀以上かかったらしいから twitter.com/Polyhedrondiar…

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ピトーの定理の証明は1725年だけど，その逆の証明はなんと百年以上も後というから驚き。 「向かい合う辺の長さの和が等しい凸四角形は，円に外接する」は1846年にスイスの数学者ヤコブ・シュタイナーが証明，とのこと。 twitter.com/Polyhedrondiar…

2017-09-12 21:53:48

{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

三辺の内接円に，端の頂点から接線を引くと同じ内接円をもつ四角形ができるけど，これがピトーの定理を満たすため，前提とした四角形に一致することが示せるそうだ。なるほど。 pic.twitter.com/VUJqieBLiU

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三角形に傍接円というのがあったけど，四角形にもあるらしい。辺の延長線に接するやつ。 凹四角形の場合と，凸四角形の場合と，自己交叉四角形の場合。 いずれも隣接する2辺の和が，残りの2辺の和になっている。 pic.twitter.com/JRu9LzHiUF

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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

「隣接する2辺の和が，残りの2辺の和になっている。」 つまりそういうタイプの四角形にしか，傍接円はないということ。 これは「隣接する2角の和が，残りの2角の和になっている」四角形，すなわち台形の双対ではないか，という情報をいただきました(私の早とちりの可能性も…)

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反平行四辺形。四角形にはこんなのもあってちゃんと役にも立ってる。 二組の対辺の長さが等しい凸四角形は平行四辺形だけど，同じ条件の自己交叉四角形がこれ Antiparallelogram en.m.wikipedia.org/wiki/Antiparal… pic.twitter.com/M12imkgKc9

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反平行四辺形の凸包は，先に御覧のように等脚台形。 必ずしも平行な辺をもたないけれど，一組の対辺が平行になる特別な場合がある(反長方形)。 pic.twitter.com/iLlaHAkBzT

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{3,5/2} 大二十面体 @Polyhedrondiary

そしてこっからが面白いんだけど， 反平行四辺形をリンク機構にすると，固定した短辺の両端を焦点とする楕円が長辺の交叉点の軌跡になる。 pic.twitter.com/IdfKtjNoY4