ぶつどい6th　作用素環による量子力学の定式化

lim_hahn@実況 @Lim_mathph

「作用素環論による量子力学の定式化」 §1. 準備 §2. Hilbert空間形式の量子力学 §3. C^✳︎-環形式の量子力学 §4. 可換C^✳︎-環と古典論 §5. 表現と超選択則 §6. 既約表現から因子表現へ #ぶつりがく徒のつどい

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(physicstsudoi.client.jp/6th_doc/ooyama…) #ぶつりがく徒のつどい

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§1. 準備 Def(C^∗-環) AがC^∗-環とは, (1)A: ベクトル空間 (2)積・: A×A→A (3)ノルム||・||: A→ℝ^+ (4)∗: A→A s. t. (a^∗)^∗=a, (ab)^∗=b^∗a^∗ (続) #ぶつりがく徒のつどい

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(5)||a||=||a^∗|| (6)||a^∗a||=||a||^2 #ぶつりがく徒のつどい

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Def(Hilbert空間) H: Hilbert空間とは (1)H: ベクトル空間 (2)内積<・, ・>: H→ℂ(完備) #ぶつりがく徒のつどい

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Def(有界線形作用素. 今回はB. L. O. と略記) H: Hilbert空間 A: H→HがB. L. O. とは, (1)a: 線形作用素 (2)作用素ノルムが有限 ||a||≔sup_{x∈H}||ax||/||x||<∞ #ぶつりがく徒のつどい

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Def H上のB. L. O. 全体の集合をB(H)と書く #ぶつりがく徒のつどい

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§2. Hilbert空間形式の量子力学 用意するもの ①Hilbert空間∋状態 ②H上のB. L. O. B(H)∋物理量(自己共役なもの) →ここから, 物理的に必要な数学的道具はそろう. (ex. スペクトル測度) #ぶつりがく徒のつどい

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不満な点は何か. 1. Hilbert空間はどこから来たのか 2. なぜHilbert空間の元が状態なのか 3. なぜB(H)の元が物理量なのか #ぶつりがく徒のつどい

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物理量はあるだろう 状態っていうものはあるだろう それらがHilbert空間やB. L. O. と対応することが非自明 #ぶつりがく徒のつどい

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§3. C^∗-環形式の量子力学 1. 物理量のなす代数としてC^∗-環Aを持ってくる. 2. 状態は物理量に対して期待値を与える もの. #ぶつりがく徒のつどい

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ωは規格化された正値線形汎関数 #ぶつりがく徒のつどい

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Aの単位元があるものとすると, Ωが規格化されたとはω(1)=1. 正値性については, ω(a^∗a)≥0 #ぶつりがく徒のつどい

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①C^∗-環A∋物理量 ②A上の状態ω=状態と思う →実は, ここからHilbert空間が出てくる. #ぶつりがく徒のつどい

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Thm. (GNS表現定理) ∀A: C^∗-環, ω: A上の状態に対して ∃H_ω: Hilbert空間, φ_ω: A→B(H_ω): ∗-準同型 ∃x_ω∈H_ω. s. t. ω(a)=<φ(a)x_ω, x_ω> #ぶつりがく徒のつどい

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φ_ω(a^∗)=φ(a)^∗ φ(a+b)=φ(a)+φ(b) Φ(ab)=φ(a)φ(b) #ぶつりがく徒のつどい

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この定理の意味. C^∗-環A(物理量), 状態ω(状態)を用意すると, 実はあるHilbert空間H_ωがあって, Aの元はH_ω上のB. L. O. と思える. #ぶつりがく徒のつどい

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H_ωとφ_ωの構成 <・, ・>: A×A→ℂ, (a, b)↦ω(b^∗a) 1. <a, a>≥0 2. <liner, conj. liner> 3. <a, b>の複素共役は<b, a>に等しい. 4. <a, a>=0⇒a=0 #ぶつりがく徒のつどい

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N_ω≔{a∈A|<a, a>=0}でAを割る <・, ・>_ω: A/N_ω×A/N_ω→ℂ ([a], [b])↦<a, b> とする. これを完備化すると H_ω=A/N_ω が得られる. #ぶつりがく徒のつどい

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また, φ_ω: A→B(H_ω)をφ_ω(a)([b])=[ab]と書くことでφ_ωも得られる. #ぶつりがく徒のつどい

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Rem. このようにC^∗-環Aに対して, H: Hilbert空間, φ: A→H, ∗-準同型の組(H, φ)をAの表現という. #ぶつりがく徒のつどい

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単位元がないC^∗環に対しても構成できる #ぶつりがく徒のつどい

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§4. 可換C^∗-環と古典論 Def. A: 可換C^∗-環に対して, Ω(A): {τ: A→ℂ｜∗-準同型, τ(1)=1} としてΩ(A)を指標空間と呼ぶ. #ぶつりがく徒のつどい

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Thm. τ∈Ω(A)に対して, ker(τ)は極大イデアル. #ぶつりがく徒のつどい