κ+κ=κの証明、どこに選択公理を使っている?

Eureka GAP @j_tGAP

@alg_d κ×κ=κやκ+κ=κの標準的な証明ってどこに選択公理使ってますか

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@j_tGAP どういうのが標準的なんでしょうか…普通整列して自明みたいな感じでは?

Eureka GAP @j_tGAP

@alg_d それです。選択公理ポイントが分かってません

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@j_tGAP どういうこと? 整列するのに選択公理使ってるという事ではなく?

はかり@C103 1日目東ソ44b @mg_toHKR

κ×κ=κ、任意の極限順序数に対してκ×κ～κの系から出てくるやつしか知らないんですけど整列可能定理から直接出てくるんですか

はかり@C103 1日目東ソ44b @mg_toHKR

この～は対等の～で同型の～ではない

はかり@C103 1日目東ソ44b @mg_toHKR

極限順序数っていうか無限順序数か

Eureka GAP @j_tGAP

@alg_d κ×κのorder type κ以下の整列順序って具体的に定義できますし選択公理をどこで使っているのかなと思っています

墨長 しいと🙇🏾‍♀️（ホロライブ69期生） @marx_saul

選択公理なしで基数を考えるとか尋常じゃない

ぴあのん @piano2683

@alg_d @j_tGAP ACなしで整列できるよ（キューネン数学基礎論講義より） pic.twitter.com/sFlLbM49z9

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V-alg-d（ZZ） @alg_d

@piano2683 @j_tGAP 確認せずに聞くけどキューネンって基数って言った瞬間整列できることを仮定してるんじゃないの?

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@piano2683 @j_tGAP すみません、僕の流儀は(整列可能とは限らない)集合Xに対して基数|X|を定義しているので

ぴあのん @piano2683

@alg_d @j_tGAP まじか

Eureka GAP @j_tGAP

@piano2683 @alg_d まじっすか

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@j_tGAP @piano2683 (確認してないけど)Equ. ACとかCon. ACとか全部そうだと思うんだけど普通ではない?

V-alg-d（ZZ） @alg_d

@piano2683 @j_tGAP だからκ+κ=κというのは、任意の無限集合Xに対して全単射X+X→Xが存在するという主張になる

さーぶ @subarusamaski

普通に考えて∀κ, κ^2=κは選択公理と同値

さーぶ @subarusamaski

一方∀κ, κ+κ=κは選択公理導かないらしいね、ウケる

ぴあのん @piano2683

@alg_d @j_tGAP cardinalとcardinalityで区別するのでは [cardinalの理論は冪以外はAC抜きに展開できるが、cardinalityの定義にはACが必要]

スマートコン @mr_konn

@j_tGAP @alg_d いつからκが整列可能基数だと錯覚していた？

スマートコン @mr_konn

あっ完全に流れに遅れてた

スマートコン @mr_konn

@alg_d @j_tGAP @piano2683 Levyの教科書でも|X|は「整列可能なら全単射のある最小の順序数、そうでないならXと全単射のあるランク最小の集合全体（Scott's Trickのやつ）」が定義で、基数とは「なんらかの集合Xに対して|X|の形でかけるやつ」という定義になってる

y. @waidotto

集合のランクというのがあるのか〜(集合論弱者)

y. @waidotto

rank(x)=min{α|x∈V_{α+1}} か

スマートコン @mr_konn

@alg_d @j_tGAP @piano2683 なので、もちろん選択公理があれば後段の定義が取っ払われて我々のよく知ってる定義になる