「プログラマのための線形代数」ウォーミングアップ

さのたけと @taketo1024

【基底と線形変換9】V上の線形変換 F をまた微分としましょう。今度は (cos t)' = -sin t, (sin t)' = cos t より、F の行列表示は [0, 1; -1, 0] となります。cos, sin は微分するごとに符号を付けながら交互に入れ替わるため、計算が煩雑になります。

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【基底と線形変換10】ここでみんな大好き「オイラーの公式」 e^{it} = cos t + i sin t を持ち出します（i は虚数単位）。e^{it} は t で微分すると i e^{it} となり、もう一度微分すると -e^{it} となるので、上の方程式を満たします。この共役 e^{-it} もまた方程式を満たします。

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【基底と線形変換11】複素数まで広げて考えると e^{it} と e^{-it} が V の基底となり、それに関する F の行列表示は [i, 0; 0, -i] となります。こちらの基底では F をするたびに ±i 倍が出てくるだけなので単純です。この取り替えは電磁気学やフーリエ解析などでも積極的に使われます。

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【基底と線形変換12】もう一つ例を。フィボナッチ数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} は、初項 a_1 = 1, a_2 = 1 と 漸化式 a_{n+2} = a_{n+1} + a_n から定まる数列です。いま初項の事は忘れて、この漸化式を満たす数列の全体を V とすると、 V はベクトル空間となります。

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【基底と線形変換13】V の要素は初めの二項が決まればそこから先は全て決まってしまうので、初項が (1, 0) の数列 e_1 と (0, 1) の数列 e_2 を考えると、{e_1, e_2} は V の基底となります。V 上の線形変換 F を「左シフト」を取ると、F の行列表示は [0, 1; 1, 1] となります。

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【基底と線形変換14】他の基底として等比数列が取れるかを考えてみます。a_n = r^n とおいて漸化式に代入すると r² = r + 1 となり、その解は黄金比 φ と -1/φ となります。つまり φ, -1/φ を公比とする等比数列が V の基底となり、 F の行列表示は対角行列 [φ, 0; 0, -1/φ] となります。

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【基底と線形変換15】上の二つの例における「いい基底」は、その線形変換の「固有ベクトル」です。一般に線形変換はベクトルの大きさも向きも変えてしまいますが、固有ベクトルに対してはその大きさだけを変えます。固有ベクトルからなる基底が取れると行列表示は簡単になり、解析が用意になります。

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【基底と線形変換16】以上をまとめると、 ・（有限次元）ベクトル空間の基底を決めると、 ・要素が数ベクトルに、線形変換が行列に対応する。 ・上手い基底が取れれば、変換は簡単に記述できる！ となります。オイラーの公式や黄金比など、思わぬものが線形代数の中で現れるのは面白いですよね😊

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【終わり】以上「プログラマのための線形代数 ウォーミングアップ」でした！いかがでしたか？線形代数の適応範囲の広さと深さを感じて頂けたでしょうか？ もっと先の話が聞きたい方は、ぜひ勉強会への参加をご検討下さい☺️ 初回からのツイートはこちらにまとめてあります👇 togetter.com/li/1323099

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