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高次元でテトラポッド風のオブジェを造形する時に役立つ★統計学★の定理!「n次元データ空間で,相関係数が互いに負であるデータの最大個数は n+1 個」(さっち et ルワ, 2019) ※互いの全ての内積が負であるベクトルの最大本数

Abstract: 近年,一般の次元でのテトラポッド風の開放感および安定感あふれるオブジェ造形が流行していることに伴い,次元 n のベクトル空間において互いに内積が負となるような最大本数のベクトルのセット≪正規鈍角基底≫ 卍 を構成するアルゴリズムの需要が高まってきた。 そこで我々は,統計学において相関係数が互いに負となるようなデータの最大個数を考察し,MathOverflowの該当ページをググる事によって,≪正規鈍角基底≫ 卍 に含まれるベクトルの最大本数 dim(卍) = n+1 を決定した。 テトラポッドの足が1本・・・, テトラポッドの足が2本・・・, ・・・, ・・・テトラポッドの足がn本・・・, ZZzzzzz......
統計学 ルワンダ語 内積と相関係数 ベクトル空間 数学 ギリシャ語 安定感のあるオブジェ造形 線形代数 学術たん ビッグデータ
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§問題: R^n で,互いの内積が負であるようなベクトルの本数は,最大でいくつ?
さっち @MC_such
R^n上で内積が互いに負のベクトル、最大何個とれるんや? n+1個はとれる気がするけど、もっととれるような気もする(R^3でちゃんと考えてみるか)
さっち @MC_such
「直感的には正しそうな」構成方法使ったらn+1本なの示せた……
テトラポッド(4次元,5次元以上も含む)
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
この問題が生まれる背景の需要は…、 内積が負って、身の回りでいえば 「二本の棒が鈍角である」 (なす角が90度よりも大きい) 事を指すので テトラポットみたいに、どの二本の軸をとっても鈍角に開いているような 開放感のあるオブジェを作るのに役立ちますね。 高次元でのオブジェ造形に役立つ(? pic.twitter.com/vqZc45aDGS
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ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
さっちさんの式によると、一般次元ではn+1本との事ですが… たしかに 3次元の世界でテトラポットを作ると テトラポットの足は 3+1=4本なんですよね。 じゃ、4次元の空間でテトラポットを作ったら 足は5本になるのか…。 (n次元空間で)防波堤を作るときの、材料費の見積もりに役立ちますね!!👍
元の動機付けは「互いの相関係数が負になる最大データ個数
さっち @MC_such
@rwanda_go_tan 高次元でのオブジェ造形を動機とするのはやばいですね笑笑 これかなりアカデミックな興味からですね🤔 互いに相関係数が負のデータっていくつ存在しうるんや?(データ点n+1個) ↓ 相関係数って平均値周りのベクトルの内積だしR^nのベクトル同士の内積が負になるのを考えればええな? って感じです
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
@MC_such そのような真面目な経緯でしたか! テトラポットなどという奇天烈な例えを思いついた自分が恥ずかしい笑 自分用の覚書… 相関係数 language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20090128… 確かに、内積からバイアス除去して正規化したものが相関係数なので 根本は同じものですよね pic.twitter.com/0ruYaGfKP8
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さっち @MC_such
@rwanda_go_tan テトラポッドはやっぱり考えますよね笑 その図、めっちゃまとまっててすごいですね……(小学生並みの感想)
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
グラム・シュミットの直交化法のように 決まった手続きで、機械的に テトラポット風のオブジェを生成する事は可能ですよね ただ、その手続きで生成された 直交してない「正規・鈍角基底」のセットで そこにどのような一本を追加しても 鈍角性が崩れる事を示し 本数のMAXを証明しないといけないのよね
さっち @MC_such
@rwanda_go_tan ここ難しいところな気がしていまして、「構成したベクトルの組にどんなベクトルを足しても非負の内積が現れる→そのベクトルの組が本数MAX」だと厳しいのではないかと……少なくともR^n上で v1=(1,0,0,…,0), v2=(-1,0,0,…,0) の二本と鈍角なベクトルはありません……
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
@MC_such あらっ 私の勘違いかと思います、すみません…。 内積が0ではなく負の 直交ではないタイプの 特殊な基底セット 私は勝手に 「正規鈍角基底」 「テトラポット」呼ばわりしてしまったけれど… きっと既に、何かネーミングがあるんでしょうね、、
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
どうやるんだろう…。 正規直交規定を求める時のように、ゴリ押ししたらきっと示せるんだろうな…。 この問題は、 「眠りに堕ちる時のお楽しみネタ」として しばらく大事にとっておこうかな… 😋 テトラポットの足が一本、 足が二本…、 💤💤
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
…ん? もしかして正多面体と関係がある…? 眠りに堕ちるためのネタだったけど 気になって目が冴えて 眠れなくなってきた…
脳内帰納法では解けなかった
ルワンダ語たん(キニャルワンダ語) @rwanda_go_tan
この問題、さっちさんはどうやって構成したんだろう。 面白そうなので、さっき仮眠を取るとき目を閉じながら考えてみたんだけど 帰納法で「k次元でk+1本までしか取れない事を前提に、k+1次元でk+2本までしか取れない事を示せ」を考えると 複雑になっちゃって示せなかったです(考えてるうちに入眠) twitter.com/MC_such/status…
さっち @MC_such
@rwanda_go_tan あー「構成」っていうのは、「直感的にはこれで最大本数になりそうなベクトルの取り方」であって、帰納的な証明のことではないのです……(この問題で帰納法は厳しそう) R^n上のk本目(1≦k≦n)のベクトルv_kに対してその成分を v_k[i]= -ε if i<k 1 if i=k 0 if i>k, where ε<1/(n-2) とすると(続く
さっち @MC_such
@rwanda_go_tan (以下内積は標準内積とする) 全てのv_kは内積が負で、これら全てのv_kとの内積が負である二本のベクトルは必ず内積が正であることが算数によって示せるので、「このベクトルの取り方では」n+1本しか取れないことが分かります。それが本当に最大かというところが穴ですね(๑╹ω╹๑ )
さっち @MC_such
@rwanda_go_tan (これ接吻数的な話になってくるのでは……?) まああのベクトルの成分は、直交しているベクトルをεだけずらして負の内積にしてるというだけです(๑╹ω╹๑ )

拡張: R^n で,互いの内積が0または負であるようなベクトルの本数は,最大でいくつですか。

さっち @MC_such
内積0まで許すなら2^n個いけるのか
さっち @MC_such
この問題少し一般化して、互いに内積がt未満(それか以下)のベクトルを何本用意できるかってなった時に、tが0を横切った瞬間に2nからn+1にドカンと減るのな。すごい(こなみ)
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コメント

hizen31415 @hizen31415 2019年8月12日
数学的帰納法を使えば直観的にn+1以上ということは分かる。 また2n未満ということも直観的にわかる。 n+2未満の証明は自分には無理。
hizen31415 @hizen31415 2019年8月13日
n+1以上であることの証明(一部不完全) 1次元のときベクトル数が2なこと、2次元のときベクトル数が3であることが自明である。 n次元でベクトル数がn+1であると証明されているとする。 n+1次元空間でなら、その内のn次元空間を使ってn+1本の互いに相関が負なベクトルを定義できる。
hizen31415 @hizen31415 2019年8月13日
余った1次元を使えば、他のn+1本のベクトルすべてに直行するn+2番目のベクトルを設定できる。 そしてn+1本のベクトル全てに-ε倍したn+2番目のベクトルを加えれば、n+2番目のベクトルに対して 相関係数が負のベクトルがn+1本定義できる。そしてそのn+1本のベクトルは互いに相関係数が負である。 以上からn次元で互いの相関係数が負となるベクトル数がn+1であると証明されているなら、n+1次元でのベクトル数はn+2以上と判断できる。ゆえに数学的帰納法により、題意は証明された。
hizen31415 @hizen31415 2019年8月13日
なお不完全なのは、-ε倍したn+2番目のベクトルをn+1のベクトルに加えた時、n+1個のベクトル位の相関係数が互いに負のままであるかを証明していない点。 数学に詳しい人、あとはお願いします。
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