高次元でテトラポッド風のオブジェを造形する時に役立つ★統計学★の定理！「n次元データ空間で，相関係数が互いに負であるデータの最大個数は n＋1 個」(さっち et ﾙﾜ, 2019) ※互いの全ての内積が負であるベクトルの最大本数

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

R^n上で内積が互いに負のベクトル、最大何個とれるんや？ n+1個はとれる気がするけど、もっととれるような気もする（R^3でちゃんと考えてみるか）

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

「直感的には正しそうな」構成方法使ったらn+1本なの示せた……

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

この問題が生まれる背景の需要は…、 内積が負って、身の回りでいえば 「二本の棒が鈍角である」 (なす角が90度よりも大きい) 事を指すので テトラポットみたいに、どの二本の軸をとっても鈍角に開いているような 開放感のあるオブジェを作るのに役立ちますね。 高次元でのオブジェ造形に役立つ(? pic.twitter.com/vqZc45aDGS

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ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

さっちさんの式によると、一般次元ではn＋1本との事ですが… たしかに 3次元の世界でテトラポットを作ると テトラポットの足は 3＋1＝4本なんですよね。 じゃ、4次元の空間でテトラポットを作ったら 足は5本になるのか…。 (n次元空間で)防波堤を作るときの、材料費の見積もりに役立ちますね！！👍

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan 高次元でのオブジェ造形を動機とするのはやばいですね笑笑 これかなりアカデミックな興味からですね🤔 互いに相関係数が負のデータっていくつ存在しうるんや？（データ点n+1個） ↓ 相関係数って平均値周りのベクトルの内積だしR^nのベクトル同士の内積が負になるのを考えればええな？ って感じです

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

@MC_such そのような真面目な経緯でしたか！ ﾃﾄﾗﾎﾟｯﾄなどという奇天烈な例えを思いついた自分が恥ずかしい笑 自分用の覚書… 相関係数 language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20090128… 確かに、内積からバイアス除去して正規化したものが相関係数なので 根本は同じものですよね pic.twitter.com/0ruYaGfKP8

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さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan テトラポッドはやっぱり考えますよね笑 その図、めっちゃまとまっててすごいですね……（小学生並みの感想）

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

グラム・シュミットの直交化法のように 決まった手続きで、機械的に テトラポット風のオブジェを生成する事は可能ですよね ただ、その手続きで生成された 直交してない「正規・鈍角基底」のセットで そこにどのような一本を追加しても 鈍角性が崩れる事を示し 本数のMAXを証明しないといけないのよね

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan ここ難しいところな気がしていまして、「構成したベクトルの組にどんなベクトルを足しても非負の内積が現れる→そのベクトルの組が本数MAX」だと厳しいのではないかと……少なくともR^n上で v1=(1,0,0,…,0), v2=(-1,0,0,…,0) の二本と鈍角なベクトルはありません……

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

@MC_such あらっ 私の勘違いかと思います、すみません…。 内積が0ではなく負の 直交ではないタイプの 特殊な基底セット 私は勝手に 「正規鈍角基底」 「ﾃﾄﾗﾎﾟｯﾄ」呼ばわりしてしまったけれど… きっと既に、何かネーミングがあるんでしょうね、、

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

どうやるんだろう…。 正規直交規定を求める時のように、ゴリ押ししたらきっと示せるんだろうな…。 この問題は、 「眠りに堕ちる時のお楽しみネタ」として しばらく大事にとっておこうかな… 😋 テトラポットの足が一本、 足が二本…、 💤💤

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

…ん？ もしかして正多面体と関係がある…？ 眠りに堕ちるためのネタだったけど 気になって目が冴えて 眠れなくなってきた…

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

この問題、さっちさんはどうやって構成したんだろう。 面白そうなので、さっき仮眠を取るとき目を閉じながら考えてみたんだけど 帰納法で「k次元でk＋1本までしか取れない事を前提に、k＋1次元でk＋2本までしか取れない事を示せ」を考えると 複雑になっちゃって示せなかったです(考えてるうちに入眠) twitter.com/MC_such/status…

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan あー「構成」っていうのは、「直感的にはこれで最大本数になりそうなベクトルの取り方」であって、帰納的な証明のことではないのです……（この問題で帰納法は厳しそう） R^n上のk本目(1≦k≦n)のベクトルv_kに対してその成分を v_k[i]= -ε if i<k 1 if i=k 0 if i>k, where ε<1/(n-2) とすると（続く

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan （以下内積は標準内積とする） 全てのv_kは内積が負で、これら全てのv_kとの内積が負である二本のベクトルは必ず内積が正であることが算数によって示せるので、「このベクトルの取り方では」n+1本しか取れないことが分かります。それが本当に最大かというところが穴ですね(๑╹ω╹๑ )

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan （これ接吻数的な話になってくるのでは……？） まああのベクトルの成分は、直交しているベクトルをεだけずらして負の内積にしてるというだけです(๑╹ω╹๑ )

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

内積0まで許すなら2^n個いけるのか

ルワンダ語たん（キニヤルワンダ語・キニャルワンダ語・キニアルワンダ語の語学たん・学術たんbot） @rwanda_go_tan

@MC_such (2n本のtypoかしら…??)

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

@rwanda_go_tan 2n本ですね（真顔）

さっち@ゆるく数物言 @MC_such

この問題少し一般化して、互いに内積がt未満（それか以下）のベクトルを何本用意できるかってなった時に、tが0を横切った瞬間に2nからn+1にドカンと減るのな。すごい（こなみ）