位相空間全体は集合を為すか
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Tomoki UDA
@t_uda
とりあえず、位相空間全体みたいなのは、圏とかクラスにはなっても集合にはならないという今まで通りの理解で恐らく良いハズ……。それよりもそいつを同値関係で割るのがどういうことなのかということの方が気になる。
2011-09-23 02:43:02（広義日付変更線）
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
【位相空間の同相類全体について】 基数全体は集合にならないので、各基数に離散位相を入れた位相空間全体は集合にならない。 この位相空間たちは濃度が異なることから互いに同相でないので、位相空間の同相類全体は集合にならない。
2011-09-23 09:45:36
エヴィン・ラティエ
@evinlatie
@howasepu 集合として存在しないということですね。 厳密には、 ZFC|-￢∃x∀y(y∈x⇔yは位相空間のある同相類") を証明したということです。 ただし、同相類は、単純に定義すると集合にならないので、集合のランクが最小のものを集めたものとする。
2011-09-23 10:13:54
@tenapi
けさの @evinlatie の解答により、距離空間の同相類の全体は集合をなさない。可分距離空間の同相類の全体の集合は濃度たかだか 2^{2^ω} の集合。可分コンパクト空間の同相類の全体もほぼ同じサイズの集合になる。ところがcccコンパクト空間の同相類は集合をなさない。
2011-09-23 11:49:01
@tenapi
可分コンパクト空間の同相類を見つけるには、直積空間[0,1]^{2^ω}の可算部分集合の閉包から同相類の代表元を選べばいいので、その個数はたかだか {{2^ω}^{2^ω}}^ω = 2^{2^ω} 個のはず。あるいはβωからの連続像を考えてもよいかと。
2011-09-23 11:52:53
@tenapi
いっぽう、2^κ の形のコンパクト空間はすべてcccをみたす。この形の集合の濃度になりうる基数の全体が集合をなさないので、cccコンパクト空間の同相類全体は集合をなさない。
2011-09-23 11:55:24
@tenapi
あ、訂正。可分コンパクトと言ったとき無意識にハウスドルフを仮定していた。これを外すと、無限基数に補有限位相を入れた空間を考えるだけでダメになるね。
2011-09-23 12:01:47
Tomoki UDA
@t_uda
つまり、 (0) 全ての集合はランクを持つ (1) 集合としてランク最小の位相空間で同相なものを集めれば集合になり、この意味で同相類は定義できる (2) しかしこの同相類全体は、（基数全体を考えれば）集合ではないことが分かる。 #math_ja
2011-09-23 15:35:48
Tomoki UDA
@t_uda
順序数全体を考えても、上手いこと位相さえ入れられれば同じ議論ができるのかな？でも離散位相だと異なる順序数がたがいに同相とは限らないので、もっと上手いことしないといけなさそう。 #math_ja
2011-09-23 15:38:21
Tomoki UDA
@t_uda
一般に、（集合とは限らない）クラスに対して「（同値関係で）割る」演算は定義できないけれど、十分サイズの小さい（集合になる）同値類をそのクラスから取ってくることはできる訳ですね。そしてこの同値類全体が集合になるかどうかは明らかでないと。 #math_ja
2011-09-23 15:47:11おまけ: ランクと基礎の公理と順序数と
Tomoki UDA
@t_uda
あと、集合のランクについてはこの辺： [整礎的集合 - Wikipedia] http://t.co/nKlXP22g #math_ja
2011-09-23 15:53:27
Tomoki UDA
@t_uda
基礎の公理って、全て集合が整楚的であることを証明するのに使うやつでしたっけ？ QT @alg_d どっちかというと基礎の公理?
2011-09-23 16:26:44
V-alg-d（ZZ）
@alg_d
@t_uda 基礎の公理があると「任意の集合xに対しある順序数αが有って x∈R(α)」が証明できる(というか同値)なので、任意の集合xに対し ランク:=min{ α | x∈R(α+1) }が定義できるという話だと思いました。
2011-09-23 16:35:02