無限公理を否定したとき，選択公理は証明可能か?

エヴィン・ラティエ @evinlatie

ZF-Inf+￢Inf|-ACを証明を考えてみたので書いてみます。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[1]定義の確認：順序数αが自然数⇔α以下の任意の順序数βは0か後続順序数。 xが有限⇔xからある自然数nへの単射が存在。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[2]まず次の(1)-(4)が証明できる：(1)ZF-Inf|-有限選択公理。(2)ZF-Inf|-任意の自然数nに対してV_nは有限(特に推移性よりV_nの要素は有限)。(3)ZF-Inf|-任意のxはある順序数αにおいてx∈V_α。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[3] (4)ZF-Inf+￢Inf|-すべての順序数は自然数。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

[4] (3)と(4)より、ZF-Inf+￢Inf|-任意のxはある自然数nにおいてx∈V_n。∴(2)より、ZF-Inf+￢Inf|-任意のxは有限。∴(1)より、ZF-Inf+￢Inf|-AC （証明終）

エヴィン・ラティエ @evinlatie

鏡さんのツイートを見て、気になったので自分で考えて見ました。 合ってるかな。

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@evinlatie これって基礎の公理なしでも言えると思うんですがどうでしょう？(有限でない集合Xに対し{type(A,R)|(A,R):整列順序,A⊆X,R⊆A×A}は自然数すべてを含みωの存在が言える.つまりZF^{-1}-Inf⊢￢Inf⇒"すべての集合が有限")

エヴィン・ラティエ @evinlatie

@hymathlogic 確かにそうですね。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

やま"げん"さんの方が証明がシンプルですね。

@tenapi

@kagami_hr @tadamago すでに @evinlatie と @hymathlogic が書いてくれていますが、整列不可能な集合 X があれば X の部分集合の整列順序づけの順序型のクラスも集合になり、無限順序数の存在が証明される、という筋でよいのでは？

@tenapi

つまり ZF - Inf ⊢[ (¬WOT)→Inf ] っちゅうことで ZF - Inf + (¬Inf) ⊢ AC です。

ただまご = 永島孝 @tadamago

なるほど，ありがとうございます． RT @tenapi: つまり ZF - Inf ⊢[ (¬WOT)→Inf ] っちゅうことで ZF - Inf + (¬Inf) ⊢ AC です。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

とりあえず、俺の証明は回りくどかったなｗ

@tenapi

@evinlatie エヴィンの証明のほうが基本的なアイディアには忠実。俺は後出ししたうえ、詳細を書くとうんとエレファントになる。

エヴィン・ラティエ @evinlatie

@tenapi エレファントｗ 僕の証明から別の情報を汲み取るとすれば、ZF-Inf+￢Inf|-"V=∪_(nは自然数)V_n" となることですかね。 そうすると、鏡さんがV_ωに言及してたことと関連性が出てきます。

ただまご = 永島孝 @tadamago

[集合論] ¬Inf の強さを見くびっていたかも知れないと反省．

エヴィン・ラティエ @evinlatie

JechのThe Axiom of Choiceを手に入れた！ てってれー♪