無限公理を否定したとき，選択公理は証明可能か?

はっちょう @noctivox

選択公理って、無限公理に近い位置づけの公理なのかね

鏡 弘道 @kagami_hr

@noctivox 通常の集合論 (ZF) から無限公理を除くと選択公理は不必要となります。

鏡 弘道 @kagami_hr

いやまてよ。ZF で選択公理が証明不可能なのに ZF-Inf で選択公理が証明出来るわけないではないか。でも ZF-Inf のモデル... あ。そうか。ZF - Inf でも無限公理が成り立つモデルはあるわけだ。するとさっきのもやや不適切。

鏡 弘道 @kagami_hr

@noctivox 先ほどのはやや不適切でした。すみません。ZF - Inf + (Inf の否定) の理論では選択公理の必要がないというのが正しいと思います。

はっちょう @noctivox

@kagami_hr ありがとうございます。なんとなく解ってきました。少し考えてみます。

はっちょう @noctivox

@kagami_hr それはつまり、有限集合のみを扱う公理系では選択公理は不要という理解でよろしいでしょうか。

鏡 弘道 @kagami_hr

@noctivox そうだと思います。有限集合族からの「選択」は論理規則で認められますから。

はっちょう @noctivox

@kagami_hr ありがとうございます。

鏡 弘道 @kagami_hr

ZF - Inf + (Inf の否定) が成り立つモデルは V_ω しかなくて (たぶん) そこでは選択公理が成り立つということです。

鏡 弘道 @kagami_hr

いまいち自信がないので後で調べます。 RT @kagami_hr: ZF - Inf + (Inf の否定) が成り立つモデルは V_ω しかなくて (たぶん) そこでは選択公理が成り立つということです。

鏡 弘道 @kagami_hr

推移的なモデルかも。

鏡 弘道 @kagami_hr

ごめんなさい。そんな感じがするというだけで真面目に考えていません。間違っていたらご指摘お願いいたします。

@ta_shim_at_nhn

@kagami_hr 整礎でなくてよいならば、V_ω のウルトラパワーがモデルですね。

Tomoki UDA @t_uda

ZF - Infi + ￢Inf で「有限選択公理」を証明するのって、「証明スキーム」はつくれそうですけど「証明」は作れなさそうな気がします。いやよく分からないですけど。 /戒/

鏡 弘道 @kagami_hr

@t_uda たしかに (Inf の否定) というのが扱いにくそうです。

はっちょう @noctivox

とりあえず、ZF - Inf + ￢Infに有限選択公理を追加する必要があるかもしれない、という理解で。

鏡 弘道 @kagami_hr

いやあ。やはり有限集合しか存在しないのなら選択公理は必要ないです。空でない有限集合の積が空になるわけないので。言い換えると有限集合のみからなる任意のモデルで選択公理が成り立つので選択公理は証明可能。たぶん。たぶん。たぶん。ぶんた。

鏡 弘道 @kagami_hr

ところが有限という概念が絶対的でないのでまたやっかいな感じが。うーん分からない。

鏡 弘道 @kagami_hr

もう眠くてだめだけど Kunen の The Foundation of Mathematics に何か書いてあるかも知れない。

ただまご = 永島孝 @tadamago

Categoricalな筈はないよね． RT @kagami_hr: いまいち自信がないので後で調べます。 RT @kagami_hr: ZF - Inf + (Inf の否定) が成り立つモデルは V_ω しかなくて (たぶん) そこでは選択公理が成り立つということです。

ただまご = 永島孝 @tadamago

@kagami_hr V_ωの他に何があるか，というのも面白いかな？

ただまご = 永島孝 @tadamago

@kagami_hr 余談だけれど岩波数学辞典の古い版に，ZF - Inf を「一般集合論」と呼ぶという珍妙な記述．誰かの早とちり．

ただまご = 永島孝 @tadamago

@kagami_hr 前に書いたかも知れないけど，遺伝的有限(有限集合で，元がすべて遺伝的有限)な集合の全体HFはZF - Infの推移的モデル．そしてHFはPAの中で作れる(binary codingで)．ゆえにZF - Infは無矛盾(W. Ackermann).

ただまご = 永島孝 @tadamago

@kagami_hr V_ω = L_ω だから V_ω においては V = L が成り立ち従って AC が成り立つ，ということですね？しかし，AC が問題の公理系から導かれるか否かは別．

黒ごまのかき氷 @hymathlogic

@kagami_hr ZF-Infから￢Inf("∅∈X,かつ∀x∈X,x∪{x}∈X"となるXは存在しない)と"任意の集合が有限(ある自然数との間に全単射が存在)"が同値で、自然数は整列順序なので結局￢Infから整列可能定理が言えるはずです。