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∫xe^{-x}/(1+e^{-x})^2=∫xe^xdx/(e^x+1)^2=[-x/(e^x+1)]+∫dx/(e^x+1)=∫e^{-x}dx/(1+e^{-x})=[-log(1+e^{-x})]=log2 (区間は全て0から∞)
(√(2n+√(2n^2+√k))+√(2n+√(2n^2+√(4n^4-k))))/(√(2n-√(2n^2+√k))+√(2n-√(2n^2+√(4n^4-k))))
にk=4n^4sin^2θを代入．0<θ<π/2の場合はcot(π/16)になる．求める値もこれに同じ
m=1,2は適する．m>2のとき，mod mを考えるとm^{m+1}=(m+1)^m-1であるが，(右辺)=Σ[k=0,…,m]C[m,m-k]m^k-1<Σ[k=1,…,m]m^{m-k}m^k=m^{m+1}より不適．
問題はよくわからなかったのですが，おそらく
cos(sinx)>sin(cosx)を示せ
だと思われたので別解を示しておきます．
@InferNyan
cos(sinx)-sin(cosx)=sin(pi/2-sinx)-sin(cosx)=2cos(pi/4-1/√2*sin(x-pi/4))sin(pi/4-1/√2*sin(x+pi/4)) 0＜1/√2＜pi/4より正 ∴cos(sinx)＞sin(cosx)
2012-07-14 18:13:41
しゃいたん
@faogr
周期性から|x|≦πとする．cosx≦0のとき，sin(cosx)≦0<cos(sinx)．cosx>0のとき，sin(cosx)<cosx．|sinx|≦|x|であり，区間[0,π]でcosは単調減少なのでcosx≦cos(sinx)．∴cos(sinx)>sin(cosx)．
2012-07-15 11:37:38
しゃいたん
@faogr
[f_n(x),g_n(x)]=(E+xA)^n[0,1] (但しA=[[0,1],[-1,0]])と置くとtan(nθ)=f_n(tanθ)/g_n(tanθ)．A^n=±E，±Aより，f_n(x),g_n(x)の一方がモニックなn次の，他方は(n-1)次以下の整数係数多項式．
2012-02-19 07:13:47
しゃいたん
@faogr
奇数k(0<k<45)に対しtank°=xとおく．tan(45k°)=±1となる．f_{45}(x)±g_{45}(x)=0の左辺はモニックな整数係数多項式より有理数解は整数に限るが0<x<1より有理数解は存在しない．このときtan(45±k)°とtan(90-k)°も無理数．
2012-02-19 07:21:12