「三角関数の n 倍角」(sin nθ, cos nθ, tan nθ) の関係する，大学入試の数学の良問【チェビシェフ多項式，ド・モアブルの定理，オイラーの公式】

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この問題， sin nθ なり cos nθ が出てくるので 一応，それ系の問題セットに登録しておこうと思います。 ※文系での出題はn＝3で 3θとなっています。 twitter.com/Todai_Exam_Tan…

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＜ #阪大数学の過去問 ＞ n を 2 以上の自然数とする。 三角形 ABC において 辺 AB の長さを c 辺 CA の長さを b で表す。 ∠ACB ＝ n ∠ABC であるとき， c ＜ nb を示せ。 (2020年 大阪大学・入試問題 理系)

2020-02-26 05:00:16

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＜#早大数学の過去問＞ nは正の整数. xについての n 次式 P_n(x) は 全ての実数θに対し cos nθ＝P_n (cosθ) を満たす. 1) P_n の漸化式は? 2) P_n (x) の x^n の係数は? 3) cosθ＝1/10 の時 (10^1000)・{ cos(500 θ) }^2 を10進法で表すと 1の位の数字は? (2017年 早稲田大学・商学部)

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＜ #一橋大数学の過去問 ＞ θ を実数とし，数列 {a_n} を a_1＝1 a_2＝cosθ a_(n+2) ＝ (3/2) a_(n+1) － a_n (n＝1, 2, 3, …) により定める。 すべての n について a_n ＝ cos( (n－1)θ ) が成り立つとき， cosθ を求めよ。 (2016年 一橋大学 入試問題)

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＜ #北大数学の過去問 ＞ pは3以上の奇数 実数θは cosθ＝1/p (0＜θ＜π/2) をみたす。 数列{a_n}を a_n＝(p^n) cos(nθ) (n＝1,2,3,…) で定める。 (1) a_(n+2) を a_(n+1), a_n, pで表せ。 (2) 全てのnについて a_nはpで割り切れない整数であることを示せ。 (2015年・北海道大学入試問題・後

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＜#阪大数学の過去問＞ nは自然数. 曲線 y ＝ f_n (x) は x ＝ cos t y ＝ cos nt (0≦t≦π) で表される. (－1≦x≦1) 1) n≧2で f_{n+1} (x) ＝ 2x f_n (x) － f_{n-1} (x) を示せ. 2) cos( π / 4n ) が無理数である事を示せ. ※√2が無理数である事は用いてよい (2008年 大阪大学 後期)

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＜#東北大数学の過去問＞ m, n は互いに素な自然数。 s, t は | s － t | ＜ 2π を満たす実数。 sin ms ＝ sin mt cos ms ＝ cos mt sin ns ＝ sin nt cos ns ＝ cos nt であれば s ＝ t である事を示せ。 (2005年 東北大学・入試問題 後期)

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＜#医科歯科大・数学の過去問＞ 整数n≧1. f_n (x)はxのn次式で 任意の実数θに対し sin(n＋1)θ ＝ f_n (2cosθ) sinθ (1) k＞0の時 lim{θ→0} sinkθ / sinθ を求めよ. (2) f_n (2)を求めよ. (3) f_n (x)を x^2－3x＋2 で割った余りがax－25の時 nとaを求めよ. (2004年 東京医科歯科大学)

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＜ #九大数学の過去問 ＞ (1) 正の整数nと 任意の角度θに対し cos nθ＝2cosθ cos(n-1)θ－cos(n-2)θ を示せ。 (2) あるn次式p_n(x)を用いて cos nθ＝p_n(cosθ) と表せる事を示せ。 (3) 整式 p_n(x) の定数項を求めよ。 また p_n(x) の1次の項の係数を求めよ。 (2002年 九州大学・入試問題 文

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＜ #東工大数学の過去問 ＞ 整数 m≧0, n≧1 に対し a_{m, n}＝∫{0→π} (θ^m) cos nθ dθ b_{m, n}＝∫{0→π} (θ^m) sin nθ dθ とおく。 a_{m+1, n}＝－b_{m,n} (m＋1) / n b_{m+1, n}＝(－1)^(n+1) π^(m+1) / n ＋ a_{m, n} (m＋1) / n を示せ。 (2000年 東京工業大学・入試問題 後期)

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＜ #京大数学の過去問 ＞ (1) cos 5θ＝f( cosθ ) をみたす多項式 f(x) を求めよ。 (2) cos( π/10 )cos( 3π/10 )cos( 7π/10 )cos( 9π/10 ) ＝5 / 16 を示せ。 (1996年・京都大学 入試問題・後期)

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＜ #京大数学の過去問 ＞ nは自然数 (1) 全ての実数θに対し cos nθ＝f_n(cosθ) sin nθ＝g_n(cosθ) sinθ を満たし 係数が全て整数である n次式f_n(x)とn-1次式g_n(x) が存在する事を示せ (2) 素数p≧3。 f_p(x)のp-1次以下の係数は 全てpで割り切れる事を示せ (1996年 京都大学・入試問題 後期)

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＜#東北大数学の過去問＞ 多項式 P_n (x) (n=0,1,2,…)が 全ての実数 θ に対し P_n ( cosθ ) ＝ cos nθ を満たす. (1) P_{n+1} (x) ＋ P_{n-1} (x) を P_n (x) で表せ. また P_n (x) の次数を求めよ. (2) 方程式 P_5 ＝ 1 の 異なる実数解の個数を求めよ. (1994年 東北大学・入試問題)

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＜ #京大数学の過去問 ＞ θ は 0＜θ＜π/2 の範囲の角とする。 (1) sin 3θ ＝ sin 2θ を満たすθを求めよ。 (2) m, n を 0 以上の整数とする。 θ についての方程式 sin 3θ ＝ m sin 2θ＋n sin θ が解をもつときの (m, n) と,その時の解 θ を求めよ。 (1992年 京都大学入試問題 文理共通)

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tanのn倍角の公式を導きたい。 pic.twitter.com/ABjjc65ec0

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＜ #東大数学の過去問 ＞ (1) 自然数 n＝1,2,3,… に対して ある多項式 p_n (x), q_n (x) が存在して sin(nθ)＝p_n( tanθ ) cos^n θ cos(nθ)＝q_n( tanθ ) cos^n θ と書けることを示せ。 (2) n＞1 の時 p_n' (x)＝n q_(n-1) (x) q_n' (x)＝－n p_(n-1) (x) を示せ。 (1991年・東京大学入試問題)

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＜#東工大数学の過去問＞ n≧2. 1) n-1次多項式P_n(x)と n次多項式Q_n(x)で, 全ての実数θに対し sin(2nθ) = n sin(2θ) P_n(sin^2 θ) cos(2nθ) = Q_n(sin^2 θ) を満たすものが存在する事を示せ. 2) Σ{k=1→n-1} 1/{ sin(kπ/2n) }^2 ＝(2n^2－2)/3 を示せ. (1990年 東京工業大学・後期)

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＜#九大数学の過去問＞ n は自然数 θ は実数 0 ＜ r ＜ 1 C_n ＝ 1 ＋ r cos θ ＋ … ＋ (r^n) cos nθ S_n ＝ r sin θ ＋ (r^2) sin 2θ ＋ … ＋ (r^n) sin nθ (1) C_n および S_n を計算せよ。 (2) lim{n→∞} C_n および lim{n→∞} S_n を求めよ。 (1968年 九州大学・入試問題)

有名問題・定理から学ぶ高校数学 @WKMathOrgHS

11/25おすすめの問題: n倍角の公式《チェビシェフ多項式の性質》**** compassare.org/multi-ang-f.ht… coskθ=T_k(cosθ)で定まる整式,「チェビシェフ多項式」T_k(x)について, T_n(x)がT_m(x)で割り切れる十分条件を, 漸化式を用いて示します. 力試しに良い, 式と証明, 三角関数(と数列)の分野の融合問題です.

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tan n倍角の公式の係数は、分母分子交互にパスカルの三角形を±したもの。 pic.twitter.com/rI9wR9fenf

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ポップの姉妹妹妹妹 @put_on_theories

ド・モアブルの定理から三角関数のn倍角の公式を導けるらしい 初めて知ったときおったまげた (cosθ+isinθ)³ =cos³θ+3i(cos²θsinθ)-3(cosθsin²θ)-i(sin³θ) ={cos³θ-3cosθ(1-cos²θ)}+i{3(1-sin²θ)sinθ-sin³θ} =(-3cosθ+4cos³θ)+i(3sinθ-4sin³θ) また、 (cosθ+isinθ)³=cos3θ+isinθ で、実部と虚部を比較

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【n倍角の作図法】 pic.twitter.com/6jfmxYQ6LW

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n倍角の公式を因数分解しました！ pic.twitter.com/kHiiPqxdko

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