2020年3月28日

「三角関数の n 倍角」(sin nθ, cos nθ, tan nθ) の関係する,大学入試の数学の良問【チェビシェフ多項式,ド・モアブルの定理,オイラーの公式】

sin nθ, cos nθ, tan nθ に関わる良問を集めてゆきます。新たに見つかり次第,今後追加してゆきます。
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「n倍角」に関連のある数学の問題

新しいものが上に来るように並べます。
見つけ次第増やしてゆきます。

東大レベルの受験勉強たん(東レベたん) @高校生・中学生・大学受験生向けの学術たんbot @Todai_Exam_Tan

この問題, sin nθ なり cos nθ が出てくるので 一応,それ系の問題セットに登録しておこうと思います。 ※文系での出題はn=3で 3θとなっています。 twitter.com/Todai_Exam_Tan…

2021-05-07 21:25:50
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#早大数学の過去問> nは正の整数. xについての n 次式 P_n(x) は 全ての実数θに対し cos nθ=P_n (cosθ) を満たす. 1) P_n の漸化式は? 2) P_n (x) の x^n の係数は? 3) cosθ=1/10 の時 (10^1000)・{ cos(500 θ) }^2 を10進法で表すと 1の位の数字は? (2017年 早稲田大学・商学部)

2021-04-16 17:30:43
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#一橋大数学の過去問 > θ を実数とし,数列 {a_n} を a_1=1 a_2=cosθ a_(n+2) = (3/2) a_(n+1) - a_n (n=1, 2, 3, …) により定める。 すべての n について a_n = cos( (n-1)θ ) が成り立つとき, cosθ を求めよ。 (2016年 一橋大学 入試問題)

2020-03-13 05:18:14
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#北大数学の過去問 > pは3以上の奇数 実数θは cosθ=1/p (0<θ<π/2) をみたす。 数列{a_n}を a_n=(p^n) cos(nθ) (n=1,2,3,…) で定める。 (1) a_(n+2) を a_(n+1), a_n, pで表せ。 (2) 全てのnについて a_nはpで割り切れない整数であることを示せ。 (2015年・北海道大学入試問題・後

2020-03-02 19:28:17
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#阪大数学の過去問> nは自然数. 曲線 y = f_n (x) は x = cos t y = cos nt (0≦t≦π) で表される. (-1≦x≦1) 1) n≧2で f_{n+1} (x) = 2x f_n (x) - f_{n-1} (x) を示せ. 2) cos( π / 4n ) が無理数である事を示せ. ※√2が無理数である事は用いてよい (2008年 大阪大学 後期)

2021-03-14 06:03:18
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#東北大数学の過去問> m, n は互いに素な自然数。 s, t は | s - t | < 2π を満たす実数。 sin ms = sin mt cos ms = cos mt sin ns = sin nt cos ns = cos nt であれば s = t である事を示せ。 (2005年 東北大学・入試問題 後期)

2021-06-07 13:38:14
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#医科歯科大・数学の過去問> 整数n≧1. f_n (x)はxのn次式で 任意の実数θに対し sin(n+1)θ = f_n (2cosθ) sinθ (1) k>0の時 lim{θ→0} sinkθ / sinθ を求めよ. (2) f_n (2)を求めよ. (3) f_n (x)を x^2-3x+2 で割った余りがax-25の時 nとaを求めよ. (2004年 東京医科歯科大学)

2021-02-24 06:48:54
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#九大数学の過去問 > (1) 正の整数nと 任意の角度θに対し cos nθ=2cosθ cos(n-1)θ-cos(n-2)θ を示せ。 (2) あるn次式p_n(x)を用いて cos nθ=p_n(cosθ) と表せる事を示せ。 (3) 整式 p_n(x) の定数項を求めよ。 また p_n(x) の1次の項の係数を求めよ。 (2002年 九州大学・入試問題 文

2020-03-25 16:08:16
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#東工大数学の過去問 > 整数 m≧0, n≧1 に対し a_{m, n}=∫{0→π} (θ^m) cos nθ dθ b_{m, n}=∫{0→π} (θ^m) sin nθ dθ とおく。 a_{m+1, n}=-b_{m,n} (m+1) / n b_{m+1, n}=(-1)^(n+1) π^(m+1) / n + a_{m, n} (m+1) / n を示せ。 (2000年 東京工業大学・入試問題 後期)

2021-02-20 22:49:43
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#京大数学の過去問 > (1) cos 5θ=f( cosθ ) をみたす多項式 f(x) を求めよ。 (2) cos( π/10 )cos( 3π/10 )cos( 7π/10 )cos( 9π/10 ) =5 / 16 を示せ。 (1996年・京都大学 入試問題・後期)

2020-03-28 17:03:48
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#京大数学の過去問 > nは自然数 (1) 全ての実数θに対し cos nθ=f_n(cosθ) sin nθ=g_n(cosθ) sinθ を満たし 係数が全て整数である n次式f_n(x)とn-1次式g_n(x) が存在する事を示せ (2) 素数p≧3。 f_p(x)のp-1次以下の係数は 全てpで割り切れる事を示せ (1996年 京都大学・入試問題 後期)

2020-02-24 05:34:26
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#東北大数学の過去問> 多項式 P_n (x) (n=0,1,2,…)が 全ての実数 θ に対し P_n ( cosθ ) = cos nθ を満たす. (1) P_{n+1} (x) + P_{n-1} (x) を P_n (x) で表せ. また P_n (x) の次数を求めよ. (2) 方程式 P_5 = 1 の 異なる実数解の個数を求めよ. (1994年 東北大学・入試問題)

2021-04-04 09:44:32
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#京大数学の過去問 > θ は 0<θ<π/2 の範囲の角とする。 (1) sin 3θ = sin 2θ を満たすθを求めよ。 (2) m, n を 0 以上の整数とする。 θ についての方程式 sin 3θ = m sin 2θ+n sin θ が解をもつときの (m, n) と,その時の解 θ を求めよ。 (1992年 京都大学入試問題 文理共通)

2020-02-24 03:29:30
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#東大数学の過去問 > (1) 自然数 n=1,2,3,… に対して ある多項式 p_n (x), q_n (x) が存在して sin(nθ)=p_n( tanθ ) cos^n θ cos(nθ)=q_n( tanθ ) cos^n θ と書けることを示せ。 (2) n>1 の時 p_n' (x)=n q_(n-1) (x) q_n' (x)=-n p_(n-1) (x) を示せ。 (1991年・東京大学入試問題)

2020-03-02 22:33:56
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#東工大数学の過去問> n≧2. 1) n-1次多項式P_n(x)と n次多項式Q_n(x)で, 全ての実数θに対し sin(2nθ) = n sin(2θ) P_n(sin^2 θ) cos(2nθ) = Q_n(sin^2 θ) を満たすものが存在する事を示せ. 2) Σ{k=1→n-1} 1/{ sin(kπ/2n) }^2 =(2n^2-2)/3 を示せ. (1990年 東京工業大学・後期)

2021-11-25 05:43:17
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#九大数学の過去問> n は自然数 θ は実数 0 < r < 1 C_n = 1 + r cos θ + … + (r^n) cos nθ S_n = r sin θ + (r^2) sin 2θ + … + (r^n) sin nθ (1) C_n および S_n を計算せよ。 (2) lim{n→∞} C_n および lim{n→∞} S_n を求めよ。 (1968年 九州大学・入試問題)

2021-03-26 12:21:15

関連情報

有名問題・定理から学ぶ高校数学 @WKMathOrg

11/25おすすめの問題: n倍角の公式《チェビシェフ多項式の性質》**** compassare.org/multi-ang-f.ht… coskθ=T_k(cosθ)で定まる整式,「チェビシェフ多項式」T_k(x)について, T_n(x)がT_m(x)で割り切れる十分条件を, 漸化式を用いて示します. 力試しに良い, 式と証明, 三角関数(と数列)の分野の融合問題です.

2019-11-25 23:30:01
数学を愛する会 @mathlava

tan n倍角の公式の係数は、分母分子交互にパスカルの三角形を±したもの。 pic.twitter.com/rI9wR9fenf

2018-08-11 16:18:18
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⛅煌眼凍 雪夏 @put_on_theories

ド・モアブルの定理から三角関数のn倍角の公式を導けるらしい 初めて知ったときおったまげた (cosθ+isinθ)³ =cos³θ+3i(cos²θsinθ)-3(cosθsin²θ)-i(sin³θ) ={cos³θ-3cosθ(1-cos²θ)}+i{3(1-sin²θ)sinθ-sin³θ} =(-3cosθ+4cos³θ)+i(3sinθ-4sin³θ) また、 (cosθ+isinθ)³=cos3θ+isinθ で、実部と虚部を比較

2019-09-29 06:54:50
数学を愛する会 @mathlava

n倍角の公式を因数分解しました! pic.twitter.com/kHiiPqxdko

2021-02-14 20:00:56
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