数式で解く模様の対称と非対称

@AkamaYohji

ハチの巣模様（＝亀甲繋ぎ）は鏡映面を持ちますが、六つ手卍は持ちません。並進対称性と回転対称性は共通しています。

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平行移動すると全体が重ねる平行移動は二方向あるものとしては、１回回転対称性しかないものがあります。

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洋の東西を問わず、時を越えて、沢山の平面を埋め尽くす模様があり、我々の壁面を飾っています。

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しかし、並進対称性、回転対称性、鏡映対称性の観点にたつと、平面を敷き詰める模様で自分自身を重ねる平行移動が２種類あるものは、ある決められた１７種類の一つの 型の対称性を持ちます。

@AkamaYohji

これは、数学的に証明するのはやさしいのですが、群論という数学の分野の言葉を使うと簡潔になるので、ここではやりません。

@AkamaYohji

なお、いままで、平面を敷き詰める模様で自分自身を重ねる平行移動が２種類あるもの解説してきました。

@AkamaYohji

可能な回転対称性は、１回回転対称性、２回回転対称性、３回回転対称性、４回回転対称性、６回回転対称性でした。

@AkamaYohji

もし、平面を埋め尽くす模様が、５回回転対称性を持つと、その模様は、どんな平行移動を施しても、全体が元の模様に重なることはありません。

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しかし、準結晶のＸ線回折像を見ると、５回回転対称性を持っていたわけです。ということは、Ｘ線回折像は平行移動で全体が重なることは決してありません。

@AkamaYohji

準結晶の中の原子全体は、平行移動しても決して元の原子の位置とは重ならないことを意味しています。しかし、結晶では重なります。

@AkamaYohji

でも、準結晶はＸ線回折像をとると、ぶつぶつの像ができます。ブラッグピークがあります。結晶と似た性質なわけです。

@AkamaYohji

というわけで、シェーヒトマンが準結晶を発見した当初は、結晶学の人たちは二つの結晶が混じったもの、双晶と思ったそうです。

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Nature of the Chemical Bond を著し、ノーベル化学賞を受賞したライナス・ポーリングとシェヒトマンは論争しました。。

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Ｘ線像の解析に自信があった、シェヒトマンはくじけませんでした。

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彼は、なんとか共著論文を著しました。共著者は、スピノーダル分解による相転移を表す方程式を提出した Cahn などです。 Shechtmann D. Blech I, Gratias D and Cahn J W

@AkamaYohji

従来の結晶学の常識を覆し、結晶の定義の拡張を促す論文でした。Shechtmann D. Blech I, Gratias D and Cahn J W 1984 Phys. Rev. Lett.

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当時は、世間は常温核融合が持ちきりでした。ノーベル賞が授与されるまで２７年以上かかりました。

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なお、Cahn は、スピノーダル分解の偏微分方程式で去年京都賞を受賞しました。

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全体を重ねる平行移動が２方向ある平面図形の、対称型を決定するアルゴリズムです http://t.co/xq7lGrRI

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ここで暫くお休みします。次は、３次元の立体の対称性の話をします。

@AkamaYohji

対称性には３種類あります。1種類目は、どこを中心に回転すると何回重なるか、２種類目は、どこに鏡をおくと重なるか、です。３種類目の対称性についてはすぐ後で説明します。

@AkamaYohji

伊達家の家紋五七桐も左右対称（＝鏡映対称）です。鏡映面はたった一つです。

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対称性が２回対称性だけである家紋としては、二つ巴があります。 http://t.co/Izd915P7

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参考資料： 伏見康治・安野光雅・中村義作　美の幾何学 --- 天のたくらみ・人のたくみ <数理を愉しむ>シリーズ 早川書房, 720円

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卍は弘前市のマーク