直観主義，背理法と否定の導入

ytb @ytb_at_twt

@kamo_hiroyasu @metaphusika @kamo_hiroyasu @metaphusika いいと思うんですが、直観主義数学の定義について、「マルコフの公理は構成的とは言えない」「IZFは直観主義的数学なのか」等々、すごい内ゲバを引き起こしそうですね…。

Hiroyasu Kamo @kamo_hiroyasu

@ytb_at_twt @metaphusika Markov-style は recursive mathematics ということで良さそうに思います。recursion theory と紛らわしいという問題はありますか。

ytb @ytb_at_twt

そもそも構成性とは何か。とくに、構成性と可述性は切り離すことができるのか。秋吉君に紹介してもらったRathjenの論文で、CZF^{-}+AFAは証明論的に弱いので構成的と言いうると論じていてとても面白かったです。 http://t.co/yAl10Hcp

ytb @ytb_at_twt

数学的直観主義者は、もちろん包括原理は非可述的なので認めない訳です。つまり、直観主義論理と数学的直観主義は切り離して考えることができ、直観主義論理上でどんなときも実無限が考えられない訳じゃない（直観主義論理上の公理的集合論では実無限をある程度扱うことが出来るはず）と思います。

品格の塊 @noukoknows

@ytb_at_twt 時間差で質問してすみません。「ある人が排中律を認めないからといって、同時に非可述的なものを認めないとは限らない」ということはわかりました。（つづく）

品格の塊 @noukoknows

@ytb_at_twt では、その逆の「非可述的なものをみとめない（＝実無限を否定する）からといって、排中律を認めないとは限らない」も同様に言えるのでしょうか？

ytb @ytb_at_twt

@noukoknows 可述的な古典論理上の理論の例としては、ラッセルの分岐タイプ理論（の還元公理を除去した体系）がそうだと思います。

品格の塊 @noukoknows

@ytb_at_twt ありがとうございます。そうですか、やはり実無限を認めるかどうかという話と排中律を認めるかどうかという２つの話の間には直接の繋がりはないのですね・・・。すっかり勘違いしていました。ありがとうございました、勉強になりました！

ytb @ytb_at_twt

@noukoknows それで、すみません、お聞きしたいのですが、「実無限」という言葉をどういう意味で使っておられるのでしょうか。いえ、非可述性=「実無限の否定」というのがよくわからないもので。

品格の塊 @noukoknows

.@ytb_at_twt ええと、（間違いをご指摘いただければ幸いです）「可述的」＝「構成的」であり、「非可述的対象を認めない」＝「非構成的な対象を認めない」＝「実無限を認めない（実無限を否定する）」立場のことだと理解しておりました。

品格の塊 @noukoknows

.@ytb_at_twt ですから私は「実無限」というのを、「（数学的帰納法などの手段によって）アルゴリズム的、構成的に作りだせないようなタイプの無限」と理解しておりました。

ytb @ytb_at_twt

@noukoknows まず、可述性と構成性の同一視についてですが、たしかに多くの人がしているのですが、Rathjenのように、違うものだと論じる人もいます（僕も賛成です）。つまり、微妙な話題のようです。

ytb @ytb_at_twt

@noukoknows ついでに、これはどーでもいい話ですが、Nelson が数学的帰納法も非可述的だと論じていたそうで、その意味でアルゴリズム的だからといって可述的かといえばそうでもない可能性もあります。

ytb @ytb_at_twt

@noukoknows それらの意味で、構成性と非可述性と「実無限」の関係は、依然としてよくわからない面があるので、そんな簡単には割り切れないと思います。

品格の塊 @noukoknows

.@ytb_at_twt ご丁寧なご説明をありがとうございます！それでもうひとつだけ質問させていただきたいのですが（いままで”可述的”という言葉が出てきたときには脳内ですべて”構成的”の語に置き換えて読んでいたので知らないのですが〔両者は単純に＝で繋げると思っていた為〕）、

品格の塊 @noukoknows

.@ytb_at_twt （承前）”可述的”という語は通常どのように定義されるのでしょうか？

ytb @ytb_at_twt

@noukoknows 「。「非可述的定義」とは、定義されるべき項を含む全体に言及した定義である。」というのでしょうか。 http://t.co/2efVmMbH

品格の塊 @noukoknows

.@ytb_at_twt ありがとうございます、お陰さまで「非可述的」という語の意味を（おそらく）理解することができました。お忙しい中時間を割いて、わかりやすいご説明を頂けたこと、本当に感謝しております。とても勉強になりました。どうもありがとうございました。

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

無限と排中律 http://t.co/uTrWyOYy // 「実無限の立場」が定義されていないように思われるが，実無限の立場が定義されないのはよくあることである．これは実無限なるものが混乱の産物だと言ってきた直観主義者を大いに喜ばせる事態である．

ytb @ytb_at_twt

@Zahlangabeheft そのかわり直観主義者もだいぶ混乱しているように見えますけどね…

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@ytb_at_twt 直観主義者の方は，微妙に異なる思想の人々が群生しているため傍目には混乱しているようにしか見えないが，個別に見ればそれほど混乱はない…と信じたい…．あと，ダメットのように人を改宗させようとする議論は一般に錯綜しがちだという点も考慮していただいて…．

品格の塊 @noukoknows

@Zahlangabeheft すみません、非常に粗雑でなおかつ図式化された書き方をしてしまい（というのも僕がここに書いた程度しか直観主義の思想について知らないからなのですが・・・）。

yyyy/mm/dd @Zahlangabeheft

@noukoknows あーいえいえ，健闘されていると思います．直観主義の思想的側面と数学的・論理学的側面の関係は，野矢さんなどはさらりと書いていますが，実は結構難しい話です．

品格の塊 @noukoknows

.@Zahlangabeheft ありがとうございます。そうですね、今回いろいろな方に暖かいツッコミを頂けたおかげで「それほど単純な問題ではないんだな」とわかり勉強になりました(=´∀｀)人(´∀｀=)