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tomo🐧@learning
@cocoatomo
ちょっと思考を飛躍させて, 9/4 = 2.25 と割り算をしてみましょう.「だいたい 2」ですね. ということは √(9/4) = 3/2 = 1.5 は「だいたい√2」ですね. #数学小ネタ
2012-09-04 11:02:39
tomo🐧@learning
@cocoatomo
√2は「ひとよひとよにひとみごろ」というように, おおよそ 1.41421356 で 1.5 というのはちと乱暴です. では 3/2 よりよい分数はないでしょうか? #数学小ネタ
2012-09-04 11:08:20
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@cocoatomo
3/2 をごちゃごちゃイジって, (3 + 2 + 2)/(3+2) = 7/5 としてみます. 7/5 = 1.4 なので√2に近付きましたね. #数学小ネタ
2012-09-04 11:12:53
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@cocoatomo
次の進む先としては2つあって, 1. a/b => (a + b + b)/(a + b) という変換が何をしているか調べる 2. 他の数字で試してみる というのがありますね. どっちを選ぶかは性格によると思いますが, 見通しが無い場合は2の一択です. #数学小ネタ
2012-09-04 11:19:37
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@cocoatomo
まずは 7/5 の続きをしましょう. (7 + 5 + 5)/(7 + 5) = 17/12 = 1.416666… なのでさらに近付きました. #数学小ネタ
2012-09-04 11:19:42
tomo🐧@learning
@cocoatomo
では, 3/2 ではなく 1/2 から始めたらどうなるのでしょう? 実験です. (あ, 言い忘れましたが, 2のように色々計算するのは数学での実験にあたります. 数学にも実験はあります.) #数学小ネタ
2012-09-04 11:19:45
tomo🐧@learning
@cocoatomo
まず 1/2 = 0.5 全然ダメですね. まぁ続けてみましょう. (1 + 2 + 2)/(1 + 2) = 5/3 = 1.666… さっきよりだいぶマシになりました. #数学小ネタ
2012-09-04 11:23:47
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@cocoatomo
(5 + 3 + 3)/(5 + 3) = 11/8 = 1.375 う〜ん, まぁ近付いてはいます. もうちょっとだけ頑張ってみますか. (11 + 8 + 8)/(11 + 8) = 27/19 = 1.42105… お, √2にかなり近付きました. #数学小ネタ
2012-09-04 11:24:06
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@cocoatomo
どうやら a/b => (a + b + b)/(a + b) は上手く√2に近付くみたいですね. 「では 4/3 とか 2/1 とか, 思い切って -3/2 ではどうなんだ?」という疑問からさらなる実験が生まれます. これは……読み手の演習問題とします(常套手段) #数学小ネタ
2012-09-04 11:38:35
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@cocoatomo
実験が済んで状況証拠が出揃ってきたら, 証明に行きましょう. 数学は「思考」という現実を扱っているので,「誰が思考しても納得する説明」=「証明」を付けなければなりません. #数学小ネタ
2012-09-04 11:38:37
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@cocoatomo
「3/2 より (3 + 2 + 2)/(3 + 2) = 7/5 の方が√2に近い」「5/3 より (5 + 3 + 3)/(5 + 3) の方が√2に近い」とかの実験結果をまとめて「a/b より (a + b + b)/(a + b) の方が√2に近い」とします #数学小ネタ
2012-09-04 11:38:39
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@cocoatomo
「√2 ←→ a/b」の距離と「√2 ←→ (a + b + b)/(a + b)」の距離の比較です. √2 - a/b を (差) と置きましょう. いつもアルファベットを使わないといけない理屈は無いですので. #数学小ネタ
2012-09-04 11:38:42
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@cocoatomo
a/b = √2 - (差) から a = b(√2 - (差)) です. (a + b + b)/(a + b) = (b(√2 - (差)) + b + b)/(b(√2 - (差)) + b) = (√2 - (差) + 2)/(√2 - (差) + 1) #数学小ネタ
2012-09-04 11:49:35
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@cocoatomo
これと√2の差を取ってみます. (差2) = √2 - (√2 - (差) + 2)/(√2 - (差) + 1) = ((差) - √2(差))/(√2 - (差) + 1) = (差) × (1 - √2)/(√2 + 1 - (差)) #数学小ネタ
2012-09-04 11:49:37
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@cocoatomo
さて (1 - √2)/(√2 + 1 - (差)) が小さければ√2に近付いていくことが示せます. 正負は入れ換わってもいいので, |(1 - √2)/(√2 + 1 - (差))| < 1 を計算ですね. 後は中学生くらいの数学かな. #数学小ネタ
2012-09-04 11:52:03
tomo🐧@learning
@cocoatomo
以下, 計算メモ. ⇔ |(√2 + 1 - (差))/(1 - √2)| > 1 ⇔ (√2 + 1 - (差))/(1 - √2) < -1, 1 < (√2 + 1 - (差))/(1 - √2) ⇔ (差) < 2, (差) > 2√2 #数学小ネタ
2012-09-04 12:05:58
tomo🐧@learning
@cocoatomo
となり, 2 ≦ (差) ≦ 2√2 でなければ (差) は小さくなっていくようです. この条件は不思議ですが, それを追うのは次の機会にしましょう. #数学小ネタ
2012-09-04 12:06:35