数学パラダイス(整数問題)

p≡±1のときp^2+8≡0 (mod 3)よりこれは合成数．よってp=3なのでp^3+8p+2=53は素数．

2^n+n|8^n+n⇔2^n+n|n^3-n⇒2^n+n≦n^3-n．
n≧11のとき，
C[n,5]=C[n,n-5]=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5!>n(n-2)(n-3)/2
C[n,4]=C[n,n-4]=n(n-1)(n-2)(n-3)/4!≧3n(n-1) より
2^n>C[n,4]+C[n,5]+C[n,n-5]+C[n,n-4]>n^3であるから不適．
n≦10について2^n+nとn^3-nを計算し，答え1,2,4,6を得る．

3n^2+3n+7≡4,7かつm^3≡0,±1 (mod 9)なのでこれを満たす(m,n)は存在しない．

(y^2+y/2)^2<y^4+y^3+y^2+y+1<(y^2+y/2+1)^2 なので，x=y^2+(y+1)/2．これを解いて(x,y)=(11,3).

{p,q,r}={2,3,7}とする．43^n-1≡42n (mod p^2)であり，与式のpの指数が2以上のとき，p^2|43^n-1⇔p|n⇔43^p-1|43^n-1．
このとき43^p-1=2^a*3^b*7^cと書けるが，p=2のとき11|43^2-1より不適．
p≧3のとき，43^p-1≡42p\not≡0 (mod p^3)であり，43^p-1はq^2,r^2で割り切れないので43^p-1≦p^2qr=42pとなり不適．
これらよりx,y,z≦1であり，42|43^n-1よりx,y,z≧1なので(n,x,y,z)=(1,1,1,1)．

n|p-1よりp=kn+1とおく．p>nよりp|n^2+n+1であるが，n^2+n+1-p=(n+1-k)nがpの倍数であり，|n+1-k|≦max{n,k}<pなので(n+1-k)n=0よりk=n+1．
このときp=n^2+n+1であり，4p-3=(2n+1)^2となる．

n=1のときは条件を満たす．n>1のとき，nの最小の素因数をp，n=pkとおく．
nは3の倍数ではないのでp≧5．0≡3^n+1≡3^k+1 (mod p)より，9^k≡1 (mod p)．
kの素因数はp以上なのでkとp-1は互いに素であるから，ak≡1 (mod p-1)なるaが存在するが，1≡9^{ak}≡9 (mod p)より矛盾．

約数が6個というのはab^2 (a,bは相異なる素数)と書けることと同値．
p≧5のときp≡±1 (mod 6)より6|p^2+11よりp^2+11=2^2*3,2*3^2であるが，これを満たすpは存在しない．
p=2のとき15=3*5より不適，p=3のとき20=2^2*5より適する．

n^5+n^4+1=(n^3-n+1)(n^2+n+1)．n^2+n+1>1よりn^3-n+1=1が必要なのでn=1．このときn^5+n^4+1=3は素数．

y^2+4xが平方数のとき，y^2<y^2+4xより(y+1)^2≦y^2+4xなので4y+1≦4x．
よってy<xなのでx^2<x^2+y+2<x^2+x+2≦x^2+2x+1=(x+1)^2よりx^2+y+2は平方数とならない．

aが偶数のときa^4+4^aは4以上の偶数となり不適．
aが奇数のとき，a^4+4^a=(a^2+2^a)^2-2*2^a*a^2=(a^2+2^a+2^((a+1)/2)a)(a^2+2^a-2^((a+1)/2)a)であるから，
これが素数のとき1=a^2+2^a-2^((a+1)/2)a=(a-2^((a-1)/2))^2+2^(a-1)≧2^(a-1)よりa=1で，これは適する．

2^m+3^n=k^2 (k>0)とする．(-1)^m≡k^2 (mod 3)より2|mなので3^n=(k-2^(m/2))(k+2^(m/2))．
k±2^(m/2)はいずれも3^xと書けるが差が3の倍数でないから小さい方つまりk-2^(m/2)は1に等しい．
これよりk+2^(m/2)=3^nとなるので，2^(m/2+1)=3^n-1=(3^(n/2)-1)(3^(n/2)+1)．
(-1)^n≡k^2 (mod 4)より2|nだから3^(n/2)±1は整数なのでいずれも2^xと書けるが，
差が2なので小さい方つまり3^(n/2)-1は2に等しい．このとき(m,n)=(4,2)が適する．