ぽよさんの#GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

さて、一仕事終わった。秋葉原でGPSのデモを使わせてもらった。PCでも現在位置をリアルタイム表示のソフトはあるけれど、携帯やスマホは、GPSだけでなく電波塔の位置等と道路のメトリックから更に正確な位置を割り出しているのだね。あらためて分かった。結論⇒PCはナビには使えない。

ぽよ @Poyo_F

すごくずれます。一般相対性理論必須です。大した項ではありませんが。 RT @mayuutann: 確かGPSでの位置計算にも相対性理論が使われてるんですよね？そのままではズレてしまうとかで・・・補正をしないとどうズレるかは忘れました。地球の自転とも関係あるんでしたっけ・・・？

ぽよ @Poyo_F

特殊と一般由来の項が６項ぐらいあって、それらが逆向きだったりしてたと思っていたのですが、今 http://t.co/k7EXWjr9 を調べたらF・e・Sqrt(A)sin(Ek)の１項だけのように書いてありました。 RT @mayuutann 一般の方でしたか #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

http://t.co/k7EXWjr9 によれば、F・e・Sqrt(A)sin(Ek)は、－２R・V／（cc）とも書けますが、こちらの方は計算が随分難しいですね。それにFには重力定数が入っていますが、これだけでは一般、特殊のどちらの効果なのかが分かりませんね。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

というわけで、有料ですが、やはり http://t.co/rYq95Oh7 なんかを読まないと分かりませんね。ただ、http://t.co/k7EXWjr9 の１５ページにΔｆ＝－4.5674E-3Hzと書いてあり、このクロック周波数のズレは大きいですね。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

酔い醒めの朝の頭ではこれぐらいしか調べられませんでしたが、以前ちょっとだけ計算した時の記憶では、この補正が無いと最大で４～５ｍずれるのではなかったかなぁ。。間違ってたらごめんなさい。あと、時計のずれは積算されるので、そっちのずれはすごく大きくなると思います。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

折角なので、 #GPSと相対論 のツイの変数のメモ：F＝－２Sqrt(μ)/(cc) 、ccは光速cの２乗のつもり。μ＝３．９８６Ｅ１４［ｍ^3／秒^2］は地球の重力パラメータ。eは離心率、Aは軌道長半径[m]、Ekは離心近点角、Rは衛星の位置ベクトル、Vは衛星の速度ベクトル。

ぽよ @Poyo_F

休日中の仕事も終わって気分がよかったので、今日は #GPSと相対論 の続きを、日曜大工ならぬ日曜数楽した。以下は、それのメモ代わり。

ぽよ @Poyo_F

一般相対性理論は、特殊相対性理論を含むので、まとめてやることにした。直接アインシュタイン方程式は大変なので、解の一つであるシュバルツシルト解「 http://t.co/omh3nBk2 」を利用することにする。GPS衛星が中心力場を周回することにするのだ。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

シュバルツシルト解で、θ＝π/2、ｄθ＝０としてGPS衛星には地球を中心に持つ平面内を周回してもらう⇒ http://t.co/KYwYwC70 これに対して、次のツイでΔt／dt倍して、有限時間間隔Δtがどれぐらい伸び縮みするかを調べる。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

衛星上の装置が刻む時間は、自由落下している系の座標系なので、世界間隔とΔs＝－ｃΔtという関係があるが、これは、地球の中心の座標系で表すと⇒ http://t.co/EcgR4szR のような感じ。これを用いてΔtとΔt’との関係を求めるという作戦だ。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

ものすごく小さい項を無視するという近似をすると #GPSと相対論 http://t.co/URUYSG8y になり、GR（一般相対性理論ならではの）項と、SR（特殊相対性理論だけでも出る）項が補正項として出てくる。地球質量M=0でSRだけとなる事が確かめられる。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

まずはSR項を吟味する。衛星時計の遅れ率は⇒ http://t.co/NDl4lDIC 。半日で地球を一周する衛星の速さはｒ＝衛星高度（２０２００ｋｍ）＋地球半径（６４００ｋｍ）として⇒ http://t.co/X4GDtRxG 。秒速３．９ｋｍ！速いね。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

これに対してGR項は、重力の大きい地上の方が上空の衛星より遅れる（つまり衛星の方が時計が速く進む）から、GR 項による遅れ率は、地上の遅れから衛星の遅れを引き算して求める⇒ http://t.co/vnnN0jaC SR項とは補正項の符号が逆になることに注意。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

１日＝８６４００秒だから、一日で生じる時計のズレの大きさは、SR項では⇒ http://t.co/tmo1lbk3 で７．１μ秒遅れる。GR項では⇒ http://t.co/453LOEmB で４５μ秒進む。差引き３８μ秒のズレだ。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

ここから先の距離のズレは結構計算が大変だ。別々の向きに走っている衛星の時刻の差でなんとかなるので、ナビのズレを小さく抑えられそうだけど、面倒な事をするぐらいなら３８μ秒／日の補正する方が遥かに楽だね。衛星の時計のズレからくる電波の周波数のズレも気にしないと。 #GPSと相対論

ぽよ @Poyo_F

GPSの位置推定には各衛星の時空間的座標と電波が到達した時刻から逆算して車の位置を決めるというものなので、衛星のズレが皆３８μ秒／日なら問題は起こらないだろう。だが実際はマチマチなのでまずい。１１ｋｍは？だよ。＞wiki　具体的計算は、いつかの日曜数楽でネ。 #GPSと相対論