数学bot

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

これが一番簡単な証明。初等的なのは結構ややこしい

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

展開して定数項を比較するとZ/pZの世界で(p-1)!=-1、つまり(p-1)!+1はpで割り切れる

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

よって、F(1)=F(2)=・・・=F(p-1)=0。だから、F(X)はZ/pZで因数分解できて、F(X)=(X-1)(X-2)・・・(X-p+1)

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

a∈Z/pZととすると、a, a^2, a^3, ・・・,a^{p-1}のp-1個の要素は0以外のZ/pZのすべての要素を走り、従って、a^p=a、すなわち、a^{p-1}=1

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

F(X)=X^{p-1}-1としよう。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

このZ/pZの世界の中で多項式X^{p-1}-1を考える。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

mod pの剰余類をZ/pZで表す。つまり、Z/pZ={0,1,2,・・・,p-1}

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

例えば、p=7の場合。{1,2,・・・,6}には1+1=2、1+8=2みたいにして和が、差と積についても同様。除はちょっと難しいので略。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

p素数として、mod pの剰余類{1,2,・・・,p-1}には加減乗除が定義できる。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

数学科でWilsonの定理を知らないとは・・・

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

このような考え方の枠組みはいろいろなところ見ることができて重要。またそのうちに。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

こうしてX上の関数からY上の関数への対応をつくることができる。例としてはフーリエ変換。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

このとき、f(x)g(x,y)はX×Y上の関数。これをXに沿って積分。すなわち、∫f(x)g(x,y)dy。これはX上の関数。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

X,Yを集合、f(x)をX上の関数、g(x,y)をX×Y上の関数とする。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

数学botしてから寝よ

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

つまり、(y_0,z_0)はx^2=2y^2の(x_0,y_0)とは別の解であり、その高さは(x_0,y_0)より小さい。よって、x^2=2y^2の自然数解は存在しない。こんな感じ。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

x_0^2=2y_0^2よりx_0は偶数。つまり、自然数z_0が存在して、x_0=2z_0と書ける。これを前の式に代入してy_0^2=2z_0^2

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

√2が有理数であると仮定する。このとき、x^2=2y^2は自然数解をもつ。その自然数解を仮に(x_0,y_0)とし、これの高さをx_0^2+y_0^2と定める。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

例えば、√2が無理数であることを高さ関数を用いて証明できるので試みてみよう。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

ファルティンクスがモーデル予想「種数が2以上の代数曲線は高々有限個の有理点しかもたない」ことを証明したやり方も高さ関数を利用したもの。数論幾何において高さ関数というのは重要な研究対象である。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

モーデルがこれを利用して、楕円曲線上の有理点は有限生成アーベル群をなすことを証明した。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

オリジナルはフェルマーによるフェルマー予想のn=4の場合の証明で、無限降下法と呼ばれている。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

「高さ」は自然数になるとする。問題となっている方程式は一つ解をもつとそれをもとに次々と解が作られ、「高さ」は小さくなっていくものとすると、矛盾が生じ、整数解は存在しないと。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

フェルマー予想のように、方程式が整数解を持たないことを証明したいとき、整数解に対して「高さ」というものを定めてやる。

(´･ω･`) @utatane_u_u_zzz

アラケロフや遠アーベルに関しては簡単に説明できなが、高さ関数とは次のようなもの。