機構学たんの機構学その6『自由度のおはなし・1』

機構学たん（MT限定） @mechanism_tan

滑り込みセーフ！　と言う事で，慌ただしく始めるよ！　もうそろそろ眠いって人は，絶対長引いちゃうので後日まとめを見てね！

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さて，自由度とは何か！　と問われた時，ズバリその言葉の意味だけ説明しちゃうと，『物体の位置・姿勢を表すのに必要な独立したパラメータの数』って事なんだ．当然これだけじゃ何が何だかよく分からないだろうし，実例を参考にして見ていこう．

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まず，肘．曲げて伸ばしてーって出来るよね．この曲げの角度を決めれば前腕の位置・姿勢が定まるよね．この場合，一つのパラメータで決まるから，自由度は1になるんだ． http://t.co/jsTvWQXJC9

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対するは卓上灯．アームの水平方向の角度φ，垂直方向の角度θを独立して動かす事が出来て，加えてライトの角度ψも動かせるから，φ，θ，ψの3つのパラメータで卓上灯の位置・姿勢が決まる訳だね．だから，自由度は当然3だ． http://t.co/0i9WNfUf0d

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まぁ，こんな感じなんだけど……もちょっとメンドクサイ場合について見ていこうか．今度は剛体って言う，力を加えても変形しない理想物体が動く時についての話になるよ．

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1つの剛体が平面内を自由に動き回る時，平面内にx-y座標系を取れば，剛体の位置・姿勢を表すパラメータは剛体の重心の位置(x,y)と重心の回転角θで表せるから，自由度は3だね． http://t.co/c0cQh2JMPA

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x-y座標系じゃなくて，原点からの距離とその仰角を用いる円筒座標系(r,φ)って座標系を使っても，剛体の位置・姿勢は(r,φ,θ)の3つのパラメータで表せる．つまり，自由度はパラメータの取り方に関係無く一定なんだ． http://t.co/E4YjckhVVf

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……あ，図番がついてるのは気にしないでね．昔のノートからぱしゃぱしゃ撮って転用してるだけなんだ．

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平面はこんな感じだから，次は3次元空間行ってみよう．剛体が空間を動く時，重心位置Gを表すパラメータは直交座標系では(X,Y,Z)，極座標系では(r,φ,θ)で，どっちも3つだね．

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また，姿勢を表すパラメータは，物体に固定した座標系Σ-xyzが空間に固定された絶対座標系O-XYZに対してどの軸の回りにどれだけ回転しているかで表して，これにはオイラー角とロール・ピッチ・ヨー角って言う2つの角の表し方がよく使われるんだ．

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これを図示すると，こんな感じになるけど……分かるかな？ http://t.co/2Tc6ZprCIL

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それでもって，オイラー角とかロール・ピッチ・ヨー角ってナンジャラホイって事なんだけれども，これも3つのパラメータで表されて，重心Gの位置・姿勢との合計で6自由度が完成するんだ．それぞれパラメータの求め方を紹介していくよ．

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まずはオイラー角．物体に固定した座標系Σ-xyzの各軸と絶対座標系の各軸を平行にした状態Σ_0から，次の操作を順番に行なって物体の姿勢に合致させる時，(α,β,γ)がオイラー角になるよ．

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1:Σ_0のz軸の回りに角度αの回転を行う．回転後の座標系をΣ_1とする． 2:Σ_1のy軸の回りに角度βの回転を行う．回転後の座標系をΣ_2とする． 3:Σ_2のz軸の回りに角度γの回転を行う． http://t.co/49qh55RzL5

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捻って曲げてもっかい捻る……みたいな感じで，x軸完全に置いてけぼりなのがオイラー角だね．でも，次のロール・ピッチ・ヨー角ならx軸も活躍するよ！

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そんなこんなで，Σ_0に対して次の操作を順番に行なって物体の姿勢に合致させる時，(θ_R,θ_P,θ_Y)がロール・ピッチ・ヨー角になるよ．このRはロール（Roll），Pはピッチ（Pitch），Yはヨー（Yaw）にそれぞれ由来してるんだ．

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1:Σ_0のz軸の回りに角度θ_Rの回転を行う．回転後の座標系をΣ_1とする． 2:Σ_1のy軸の回りに角度θ_Pの回転を行う．回転後の座標系をΣ_2とする． 3:Σ_2のx軸の回りに角度θ_Yの回転を行う． http://t.co/QpviyANWuL

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航空系に詳しい人は，オイラー角よりはRPY角の方が分り易いんじゃないかな？　でも，ちょっと向きが変わってる所だけは注意だね．画像はWikipediaより． http://t.co/sgPgrKVDby

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それじゃ，次は対偶や機構の自由度について学んで行くと言う事で，今夜はこの辺りでお終いです．聞いて下さった方，ありがとうございました．