一般位相の勉強の大変さ

dif_engine @dif_engine

大学二年の夏休みは位相空間論（一般位相）をあれこれやってた記憶があるし、まさかそれだけやっていたはずはないのだけどそれにしても一般位相に慣れるのに随分大変だった記憶がある。

Paul Painlevé @Paul_Painleve

.@dif_engine 一般位相は、一度ヲタク的にはまりこまないと、なかなか理解できないですね。はまり過ぎてもあまり良くないのだけど。結局は「自分で一度深く考えること」が数学の勉強の基本ということなのでしょう。一旦わかってしまえば、そう大したことではないのですが。

dif_engine @dif_engine

@Paul_Painleve やはり普通に難しいものなのですね。距離空間による連続性と開集合による連続性が論理的に等価になることになかなか納得感がわかず、何度も証明を書いたりしてました……

dif_engine @dif_engine

一般論だけで（実例抜きで）開集合系、コンパクト性、連結性、T2分離公理まで説明するともうこの辺で息苦しい。しかもこれだけじゃ測度論なんかの議論には不足する。

Paul Painlevé @Paul_Painleve

@dif_engine 数学科の学生であれば、「連続＝開集合の逆像が開集合」が理解できた時が、ε-δ論法が本当に理解できた時、と私は考えています。この境地（？）にたどり着くのに確かにギャップがありますね。

dif_engine @dif_engine

じゃあ R と R^n を題材にちゃんとやれよと言っても、この辺の空間は決してなんでも自明なわけじゃないからなぁ。測度論の補題でR^nが第二可算空間であることを知ったときは衝撃を受けた。

dif_engine @dif_engine

R^nが第二可算空間であることを知ったときは衝撃を受けた←この時点でちょっと、というかかなり解析のセンスがない。

Paul Painlevé @Paul_Painleve

@dif_engine 大学2年生だと、ユークリッド空間や離散集合に毛の生えたものくらいしか例が出せないので「なんでこんなことやるの？」感がどうしてもあります。3年の幾何でも、前期だと球面、トーラス、せいぜい射影多様体、グラスマン多様体程度ですし。

dif_engine @dif_engine

@Paul_Painleve とりあえず納得したあとに気になったのは「開集合系」なんていう発想がどこから！？というもので、これもn変数で考えたとき「近傍を箱に取っても球にとっても連続性の概念は同値になる」ことの本質を考えてみるとようやくなんとか納得しました。

Paul Painlevé @Paul_Painleve

@dif_engine 測度論は、今の数学科・大学3年時で、たぶん一番の撃墜ポイントでしょう。2年終わって、位相空間がまだふらふらしてる状態だとなかなか理解できません。

Paul Painlevé @Paul_Painleve

@dif_engine linear topologyとか、違う数学を知るようになると、必要性と合わせて自然に理解できるようになるのですけど、2，3年時だとおっしゃるような例くらいしか出せないと思います。「位相構造の同値な定義」をいくつも並べて同値性を確認しても「理解」には遠い。

dif_engine @dif_engine

可換環論で出てくるI進位相はね……もうイメージするのを諦めました。あれはどっちかというと幾何学というより論理？