トイレットペーパーの微分方程式
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おとうふ
@otoufu793
@awajiya 確かに最後に一番好きな曲いれそう！！ あの時代はひとはみなそういう苦悩を乗り越えて大人になったのでした（適当）。
2013-10-14 00:20:56
Fujii Ryoichi
@ffi
先日の微分方程式ですが、もう少し暇になったら勉強し直そう！と思っていたものの、どうもそういう風が吹かないようなので、とりあえずtogetterにまとめました。
2013-10-24 22:47:40
Fujii Ryoichi
@ffi
えーっと、おとうふさんの式は「半径r（初期条件r=r0)、巻き数n、一定速度cで引き出す。ペーパの芯なし。」で、「 r(t) = √-r0 ct /πn + r^2 」でいいのかな。 https://t.co/6n5IMHp0Dc
2013-10-24 22:56:58
Fujii Ryoichi
@ffi
一方さきほどググったらヒットした くはね氏は、「全体の半径r（初期条件r＝r0）、芯の半径c、n回巻、一定の速度aで引き出していく」。おとうふさんとの違いは「芯の半径c」と速度の名付け。
2013-10-24 22:58:39別解を示す方が現れたので、追記します。
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
？重さが一定割合で減るんだから，微分方程式立てるまでもないんじゃ。 http://t.co/rHRWH5QuXE
2013-10-25 23:32:27
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
トイペの幅wとして，厚みがr0/nなので，使った紙の体積がwctr0/n，それはwπ(r0^2-r^2)と一致します。微分方程式立てない別解。 http://t.co/Btre4XKSHM
2013-10-26 21:30:44
Fujii Ryoichi
@ffi
途中までわかった。初期半径 r0 、巻き数 n 、紙幅 w のトイレットペーパを、一定の速度 c で使うとき、紙の厚さは r0/n となるので、使われた紙の体積は wctr0/n （ ct は「速さ×時間＝距離」ってやつだ）で、これは wπ(r0^2-r^2) と等しい。
2013-10-27 17:16:11
Fujii Ryoichi
@ffi
使用前（ r=r0 ）のトイレットペーパの断面積が πr^2 であり、 使用中（使用開始から時間 t が経過したときの半径 r における）の断面積が πr^2 、その差 πr0^2 - πr^2 = π(r0^2-r^2) は、時間 t0 → t における断面積の減少量。
2013-10-27 17:23:17
Fujii Ryoichi
@ffi
紙幅は w だから、時間 t までにおいて使用されたトイレットペーパの体積は、 wπ(r0^2-r^2) であり、これがさっきの式の右辺。
2013-10-27 17:24:47
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
やっぱりこれじゃ伝わらないよね。 重さじゃなくて体積と書けばよかったか。 /？重さが一定割合で減るんだから，微分方程式立てるまでもないんじゃ。 http://t.co/rHRWH5QuXE http://t.co/md0yoWnC5X
2013-10-27 21:40:04
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
その通りです>RT ちょっと説明が足りなすぎたかな…。最初につけたコメントで良いかと思ってしまったんだ…。
2013-10-27 21:35:35
pandainpanda
@takuwestmt
@244jackie @ffi 僕もやってみたけど、微分方程式なんて使わなくても出来たよ http://t.co/0u8JkiFK7T
2013-10-30 10:24:50
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Fujii Ryoichi
@ffi
先日途中まで式立てたの再掲。 wctr0/n = wπ(r0^2-r^2) 。これを r について解けばよかったんだな。そもそも円の半径の関係式が知りたかったんだから。
2013-10-30 15:14:38
Fujii Ryoichi
@ffi
wctr0/n = wπ(r0^2-r^2) だから、r^2 = r0^2-wctr0/wπn で、 r = √ r0^2-ctr0/πn 。
2013-10-30 15:19:56