LotROクラスタの数学談義

ぱいんあぷる @Pineananas

「5と7が何個ずつあれば48になりますか?」という問題が地下鉄の中の広告にあった　答えはわかるけど考え方がわからなくてずっと考えてた

Stella（すてら） @stel_lan

@Pineananas ５の倍数は０か５、なので７の倍数が８になるように。。。。でもこれ汎用性ない攻略方なんですよね。文系あたまなのでこれ以上むりーでした(^_^;)

ぱいんあぷる @Pineananas

@stel_lan そうそうワタシもそれで考えたんですけどね～　続きがあって

ぱいんあぷる @Pineananas

「31，32，33，34，35の中で5と7で表せないモノはありますか?」とか応用がいろいろ書いてました　巧い広告だなぁ…

水上春奈 @tarlyon

@Pineananas 48だと解き方いろいろありすぎな気がしますね。鶴亀算なら、全部7で作ると7x8=56、ひとつを5と交換するごとに2ずつ変化するので、4つを5と入れ替えて5と7はそれぞれ4つずつになります。

水上春奈 @tarlyon

@Pineananas 鶴亀算で全部作れますね。7が5つで35、ひとつ5と取り替えると33、ふたつなら31。5が6つで30、ひとつ7と取り替えると32、ふたつなら34。

ぱいんあぷる @Pineananas

@tarlyon なるほど～　さすが理論派　たしかに正解は全部作れる　でした　では最後にもう一つ

ぱいんあぷる @Pineananas

「7と5で作れない最大の正数は?」　答えは28らしいデス

Stella（すてら） @stel_lan

@tarlyon @pineananas 片方が５だと１の位が０と５しかないから考えやすいですけど、ランダムｍに二種類の数字をあげた場合の簡略的な(公式ぽい)説明って難しそうです（そしてここで昼休みおしまい

水上春奈 @tarlyon

@Pineananas むむむ…両方使わないといけないのか。鶴亀算とは違ってきますね。最小は12。と思ったけど、「結果から12を引く」と後は鶴亀算になるのか。5、7、10、12、14、15、17、19、20、21、22、23…と作れるので、作れないのは30が最大な気がしますが。

ぱいんあぷる @Pineananas

@tarlyon ごめんごめんさっきのは28じゃないデスね　たしか掛けるのは０でもよかったので最小は２３だったかな?答えみたつもりだったんですけど明日また地下鉄に乗ったら問題よく読んでみます

水上春奈 @tarlyon

@Pineananas あ、確かに23作れないかも（さっき自分書いてるけど）奇数なので、7x5=35からさげても5x3=15から上げてもダメですね。最大である証明と合わせてすっきり解答する方法がぱっと思いつかないですが。

水上春奈 @tarlyon

@Pineananas 2問めで31～35は全部作れる事がわかってるので、5をひとつ足したら36～40、ふたつ足したら41～50と、以後は無限に作れる。小さい方は31～36から7を引けば24～29はできるけど、5の倍数の30からは7を引けないので23がダメ、で証明完了かな？

水上春奈 @tarlyon

@tarlyon 31～35には全部7が使われてるのがミソですね。

@est_d

@tarlyon @Pineananas 今頭が真っ白なので深く考えられませんが、5A+7B=48とかでごちゃごちゃするなんかの式があったような…組み合わせ数学だったかなぁ

@est_d

なんだったかなぁ。確か昔大学受験用の数学の問題でそういうのあったような。何かで割った余りの数によって決まるんだっけ・・すっかり記憶の彼方に

@est_d

がーん。。。鶴亀算でいいんだ…。

水上春奈 @tarlyon

鶴亀算は本当は、頭と足の数が分かってるけど内訳がわからない、という時に使うもの。なので、7と5の組み合わせの話にはたぶんもっとスマートな別の解法があると思う。

水上春奈 @tarlyon

5と7のカードが無限にあって、どちらを何枚使ってもOKという状況を考える。48は作れるか？ については、5x8=40と7x8=56の間なので、8枚のカードを使うと考える。もし全部7のカードなら合計は56。1枚を5のカードと取り替えると合計は54。1枚交換するごとに2ずつ減る。

水上春奈 @tarlyon

56-48=8 なので、1枚取り替えるごとに2ずつ数字が減るわけだから、8÷2で4枚を5のカードと交換すればいい。これで、5のカード4枚、7のカード4枚で48が作れる。

水上春奈 @tarlyon

31、32、33、34、35 については、5枚のカードを用いる場合と6枚のカードを用いる場合を考える。5枚のカードの場合、値の範囲は25(全部5のカード)～35(全部7のカード)。6枚の場合は30～42になる。

水上春奈 @tarlyon

5枚のカードを使って、全部が7のカードの場合は35。1枚を5と取り替えると33、2枚なら31。これで3つ作れた。6枚のカードを使って、全部が7の場合は42、4枚を5と取り替えると34、5枚を取り替えると32になる。これで31～35は全て作れる事が分かった。

水上春奈 @tarlyon

31～35は全部作れるので、5のカードを1枚足すと36～40、2枚なら41～45が作れる。31より大きい数字は全て作れる事がわかった。

@est_d

これに近いのかなぁ。ちょっとまだ調べていませんが http://tinyurl.com/2a9duyo

@est_d

これだと5と7で表現できない最大の整数は「5×7-5-7＝23」