応用哲学会・非古典論理セミナー

Yuko Murakami @yukoim

今日はnon-normal modal logicsと条件文の論理、直観主義論理と盛りだくさんでした。明日は多値論理とrelevant logicとこれまたヘビーそうです。ではまた明日。#nonclassicallogic1002kyoto

yoshinori ueeda @ueeda

@yukoim 今日もありがとうございます。

Yuko Murakami @yukoim

例によってつながらなかったので休憩にまとめてアップします#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

今日はまず多値論理。これまでみてきた論理は真理値が0と1の二つだった。だが、「真でも偽でもない」という真理値を考える哲学者もいる。例えばアリストテレスは未来偶然文(future contingent)の真理値を「未決」とした。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

文「フランスの現在の王は禿げている」の真理値について。主語の指示対象であるフランスの現在の王は存在しない。ラッセルは偽であると考えたが、それに反対して「真でも偽でもない」という真理値を割り当てるべきだと考える哲学者もいる。 #nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

うそつき文「この文は真ではない」の真理値は「真でもあり偽でもある」と考えることができるが、「真でも偽でもない」と考える哲学者もいる。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

矛盾した法律「すべてのA種の人は投票しなければならない。B種の人はだれも投票してはいけない。」の例。ここでAでもBでもあるXについては「投票しなければならない」真でも偽でもある。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

1970年までオーストラリアではアボリジニは投票できなかったが、所有権を持つ人は投票しなければならなかったんだそうで。

Yuko Murakami @yukoim

二つ以上の真理値を持つ論理の構成。真理値付与関数と指定値(designated value)。古典論理では真理値付与関数の値域V={1,0},指定値集合D={1}⊆V。Vは任意の集合。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

推論の妥当性は前提のすべてが指定値のとき結論も指定値（指定値保存）と定義される。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

Vが有限の時が有限多値論理、無限の時が無限多値論理。各論理結合子に対して真理値表を定義する。クリーネの三値論理。第三の真理値は「真でも偽でもない」とみなせる。指定値は1のみ。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

Vを0,i,1の順に並べ、連言を最大下界、選言は最小上界と考えると覚えやすい。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

真理値表による妥当性チェックの例。真理値表が巨大になるので”looking backward”で妥当性をチェックする方が楽。文全体の真理値が指定値でないような可能性を探す。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

クリーネ体系のほかに2つの三値論理に触れる。ウカシエヴィチ体系（ウカシエヴィチは20世紀に形式的多値論理を発明した）はVとDはクリーネ体系と同じだが、A⊃Aを妥当とするように真理値表が異なる。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

LPは三値論理で、D={1,i}。iを「真でも偽でもある」と考えている。真理値表はクリーネ体系と同じ。A∧￢AからBを導く推論(”Explosion”)はクリーネ体系・ウカシエヴィチ体系では妥当だが、LPでは妥当ではない。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

昨日最後に述べた矛盾許容論理(paraconsistent logic)はExplosionが成立しないような論理である。LPはこのセミナーで初めて出会うparaconsistent logicである。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

質問：真理値iの文の否定は1-iという真理値にならないのか？回答：iは数字ではないので1-iを計算することはできないが、1-iを真理値とみなして4値論理をつくることもできる。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

提案：「矛盾許容型論理」は「爆発しない論理」ということで訳語変えよう。「不発論理」「無爆発性論理」「非爆発性論理」「不爆発性論理」なども決選投票の結果1位：非爆発性論理（17票）2位：矛盾許容型論理（8票）となり訳語変更に！#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

練習：それぞれの体系での妥当性チェック。10分。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

午前後半。ファジー論理。無限個の真理値。砂山のパラドクス（Sorite’s paradox.ギリシャ語のheapからきている。) 。色変化を例にして。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

0番目の赤からn番目の黄色に推移する色見本で、隣り合う色見本はほぼ同じ色とする。R_iを「i番目の色見本が赤である」と読むことにすると前提「隣り合う色が同じ（i番目が赤ならi+1番目も赤）」はR_i⊃R_i+1とかける。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

だが、ここでR_0（0が赤）からR_nが導かれ矛盾。古典論理では赤の範囲をすっぱり決めることになり、三値論理なら、赤である・赤でも赤でない色でもない・赤でないと分析するが、どちらも恣意的で直観に反す。問題は連続的変化にある。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

ファジー論理はウカシエヴィチが無限多値論理として作った論理である。まず真理値は実数[0,1]。伝統的なウカシエヴィチ無限多値論理では指定値は1だけ。真理関数(p.224)。三値論理の拡張とみなせる。タブローはない。#nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

セミナーでは言及ないが、p.225の脚注「ファジー論理を確率と混同してはいけない。ファジー論理では各部分の真理値によって全体の真理値が決まる」は重要。 #nonclassicallogic1002kyoto

Yuko Murakami @yukoim

ファジー論理で妥当でない式の例。#nonclassicallogic1002kyoto