むじかのソリトンのための微分方程式講座その１

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

２変数の関数に対して１つの変数で微分する事を「偏微分」と言うわ。偏微分であることを示すためにdの変わりに∂を使うわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

テキストの完全形の定義式を見てもらうとf(x,y)をxで偏微分したものがp(x,y)、yで偏微分したものがq(x,y)に対応しているわ。ここで言うf(x,y)はこの微分方程式の解、そのものよ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

つまり、解ありきで定義が組まれてる微分方程式と言うことになるわね。 これは、そのまま完全形である条件にもなる。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

テキストに載っている完全形である必要十分条件。 これ、実はf(x,y)を両方の変数で微分してるだけと言う事に気づくわ。f(x,y)をxで偏微分したものがp(x,y)で、それに対してさらにyで偏微分、q(x,y)も順番こそ逆だけど同様。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

前提として、偏微分の順番が変わっても同じ結果になると言う暗黙の了解があるわね。どんな順番で偏微分しても必ず同じ結果になる…なんてことは定理としては挙げていないわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

これだけみると「そんな都合のいい微分方程式ってあるの？」って思われるかもしれないけど…あります。 例題じゃなくてこんな微分方程式もある…と言う事で完全形の例を出しておきます。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

完全形の微分方程式の例 (2x+2y+1)dx+(2x-2y-1)dy=0 dxについてるほうをp(x,y)、dyについているほうをq(x,y)と見立てて必要十分条件の式に代入すると条件を満たしている事が分かるわ。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

で、この微分方程式を解くにはいきなり中間的な関数を「変数変換でなく」登場してきて混乱するのでやりません。 気になる方は、こちらのURLで確認してみてね。 homepage2.nifty.com/eman/math/diff…

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

と、ここまでやってきましたが時間的にもそろそろ遅い時間。 でも内容的にはまだ折り返しなので、後半の内容は明日の同じ時間帯に再度行います。 ソリトン企画第二弾その２と言う事で明日の20時からの連ツイにもご期待ください。

音響物理学たん(音楽理論派) @soundofphysics

明日は微分方程式の「線形性」についてお話しをします。 そして、明日のアシスタントもけみかが担当します。 それでは、また明日、よろしくお願いしますね。では♪

けみかたん@(化学/化学工学/生物) @chemica_tan

@soundofphysics ∂の読み方はラウンド、ラウンドディー、デル、パーシャル etc.色々あるけど、私はラウンドって読みます。 MS-IMEだと「デル」で∂って変換されるし、デル派が多いかな...？