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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
∈は「属す」、⊆は「含まれる」と表現するのが主流だと思うが、∈を「要素として含まれる」と表現することもある。ところが赤集合論では∈が「含まれる」、⊆が「包まれる」。
2014-11-06 00:23:18
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten あぁ、正確には赤集合論は∈を「属す／含まれる」の両方で呼んでいる。「含まれる」の曖昧さが元凶なので、私は∈を「属す」、⊆を「包含される」と呼び分けている。
2014-11-06 00:27:07
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論p33問1（「A⊂BかつB⊆C」ならばA⊂C）の解答p245、「A⊆Cであることは明らか」……あぁ、嫌な予感が！
2014-11-06 00:43:33
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論p38問3。集合の包含関係に関する定理で、空集合を導入する前に証明したものが、空集合を考えてもそのまま成立することを確かめよ、という問題。解答には個別ケースについての記述があるが、前の証明を書き直す必要があるのか、あるいはそのまま通用するのかを考えることも大事。
2014-11-06 09:33:43
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 美しくないけど、vacuously trueを用いた議論は一貫して避ける方針ぽい。付録p214で初めて解説されている。
2014-11-06 22:24:53
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
A⊆Bを∀x[x∈A→x∈B]と定義したからには、「⊆」の登場する言明は（その気になれば）すべて「⊆」を用いないで書き直すことができ、その証明は「論理の話」に帰着させることができる。
2014-11-07 12:19:10
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論は集合と論理（というか述語）の関係については付録で触れており、本編ではこのような帰着・還元を貫く立場を採っていない。だからときには論理に帰着する一方、ときには「どちらもA,B,Cの元を全部寄せ集めたものだからA∪(B∪C)＝(A∪B)∪C」といった証明が出てくる。
2014-11-07 12:20:07
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
空集合だけ特別に言及するのもその一環だろう。こういう証明は、「何を書けば証明したと認めてもらえるのか」と悩んでしまう人が続出しそうなのでかなり違和感があるが、論理に帰着するのが唯一最良とも思わない。個々の証明について、書いてある方法と異なる流儀の証明を補ってゆけばよいのだろう。
2014-11-07 12:20:26
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
A∩(A∪B)＝(A∩A)∪(A∩B)＝A∪(A∩B)＝(A∪A)∩(A∪B)＝A∩(A∪B)＝(A∩A)∪(A∩B)＝A∪(A∩B)＝(A∪A)∩(A∪B)＝A∩(A∪B)＝(A∩A)∪(A∩B)＝A∪(A∩B)＝(A∪A)∩(A∪B)＝A∩(A∪B)＝(A∩A)∪(A∩B)＝
2014-11-08 17:47:42
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論p50問16、A∩(A∪B)＝Aの証明。「⊆」は明らか、一方A⊆AとA⊆A∪Bより「⊇」も成り立つ、という略解。前者は定理4(1)を使っているのに「明らか」と書き、後者は定理2(1)や定理4(2)を（言及なく）使っている。こういう「明らか」の使い方がダメだと思うのです。
2014-11-08 18:17:03
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
関数の合成の結合則を示せと言われたら、((h・g)・f)(x)も(h・(g・f))(x)もh(g(f(x)))だから、って言うしかないですよね。なんでこんなにも自明なのか、不思議な気がする。
2014-11-10 19:44:12
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論で初めて認識したけど、AがB,Cを包んでいなくとも、A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)やA－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)は成り立つのね。より一般的なDe Morgan則。
2014-11-11 09:59:55
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
∩は∪に対して分配的、∪は∩に対して分配的だけど、べつにテレコじゃなくてもいいのね。∩は∩自身に対して分配的、∪は∪自身に対して分配的だね。
2014-11-11 12:22:53
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
大学に入ったとたん「全単射fに対して(f^{-1})^{-1}＝fを証明せよ」と言われても途方に暮れるわなぁ。
2014-11-11 23:46:59
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論もやっぱり、ベルンシュタインの証明で突然初心者を喰ってしまうな。こればかりはどうしようもないな。
2014-11-16 21:59:44
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
中学生のときに『数学序説』を読んだときも同じことを思ったけど、赤先生の書く「称える」は「となえる」より「たたえる」がいいのかな。褒めるニュアンスがなくても「称（しょう）する」の意味で「たたえる」って言うことあるよね。
2014-11-18 01:02:57
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
赤集合論p91例5、ここではまだ「＜」の推移性は示されていないことに注意しよう。a＜b＜cという連鎖を得たければa＜cも示す必要がある。
2014-11-18 10:01:57
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
一般に、推移的関係Rと同値関係Eに対して、関係R∧￢Eは推移的とは限らない。例えば「≦かつ≠」で定義された「＜」が推移的になるのは≦の推移性だけでなく反対称性が効いている。濃度の大小の反対称性って要するにベルンシュタインの定理のこと。
2014-11-18 10:03:15
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
嘉田先生の「証明を理解するための考え方」（ mi.s.osakafu-u.ac.jp/~kada/susemi09… ）の良い例題があればいいと思っていたが、これはどうだろう。どう解答しますか？： 開区間(－1,1)から実数全体Rへの写像f:x → x／(1－|x|) が全射であることを示せ。
2014-11-19 11:03:08