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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
いまのところ「妙な定義のせいで順序数の冪が基数の冪と対応しない」という程度の理解にとどまっている。面白そう。
2015-01-29 00:58:10
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
いま気付いたけれど、順序数の冪のややこしい定義（「有限個を除いては……」）に登場する写像って、底が有限で指数が可算の場合、自然数を（2進法なり10進法なりで）表示する方法に相当しているのか！
2015-01-29 09:49:39
ただまご = 永島孝
@tadamago
@y_bonten 妙な定義というのは赤さんの第三編第6節のことですね？ 初めて読んだときは私もあれを妙だと感じました．しかし，次の節で種明かししてあったと思う．実は「冪は掛け算の繰り返し」という至極もっともな定義と一致します．
2015-01-29 09:56:11
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@tadamago はい、その箇所です。このように定義すれば（底が有限の場合の）掛け算の繰り返しに一致する、というところまでは納得したのですが、ではなぜもっと素朴に定義してはいけないのか、がなかなか分かりませんでした。
2015-01-29 10:00:46
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 自然数は、n進法ならn種類の数字の有限個の列で表される。何個でもいいけれど「可算無限個の列」ではない。「123」は「0000……00123」と考えることもできるが、一つの数に無限通りの表示が対応してしまう。自然数の濃度はnのアレフゼロ乗などではない。
2015-01-29 10:01:27
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
ずっと「ご主人様」ってくるる先生のお師匠さんのことだと思っていた。（犬目線からの）ご本人だったのね。d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/…
2015-01-29 13:18:01
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten （選択公理のもとで）「集合Aと全単射がとれる最小の順序数」を「Aの濃度」と呼ぶなら、アレフ0をωと書くことは正当化されるのかな。
2015-01-29 13:23:06
嘉田 勝
@kadamasaru
Kunen の The Foundation of Mathematics では基数の加法・乗法・冪をことさらに順序数演算と区別したい場合に「式全体をボックスで囲む」という記法を提案していますね。
2015-01-29 13:26:04
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「あ、いちおう言っとくけど」みたいな感じで、括弧つきで（選択公理のもとで）って書く快感 #間違ってたりする
2015-01-29 13:26:47
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
整列集合Bから整列集合Aへの写像の全体に（素朴に）全順序を入れたい。BからAへの写像φ,ψについて、φ(x)≠ψ(x)なる最小のx∈Bをとり、φ(x)とψ(x)の大小でφとψの大小を定めれば（要するに頭から辞書式で比較すれば）全順序が入るのではないか。
2015-01-30 10:44:08
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 実際に採用されている定義との分かれ道は、整列性を確かめるところにありそう（赤集合論p180、定理16）。
2015-01-30 13:53:05
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@ta_shim_at_nhn ありがとうございます。「Bの整列性によって比較箇所を見つけて、しかるのちAの全順序性を反映させる」という感じですね。[0,1]区間の実数の表示と（ほぼ）一致するということは、もうその時点で選択公理によらずに整列させることを諦めないといけませんね。
2015-01-30 16:07:20
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
くぅ、何で今の今まで気付かなかったんだ。選択公理によらずに順序数の冪が定義できちゃってる時点で、|2^ω|がアレフのはずないじゃないか。ω^(ω^(ω^(……^ω)))だって可算なんだ。
2015-01-30 16:07:49