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ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
Zorn⇒整列可能の証明のアウトラインは想像できたが、「初めから半順序が固定されていて、その中で整列集合を切片関係で並べる」という状況と違って、とりあえずあらゆる整列順序を切片関係で並べないといけないところが難しかった。
2015-01-21 12:02:45
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten この場合の切片関係というのは、「Aの順序がBの順序の部分順序になっていて、かつAが（Bの順序における）Bの切片になっている」というものになるだろう。
2015-01-21 12:03:08
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten 例のごとく、この切片関係で並ぶ鎖Cの和集合を取るとCの上界となることを言いたいが、まずはこの和集合自体に順序を入れないと、Cの各要素との切片関係が議論できない。
2015-01-21 12:03:23
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@y_bonten ∪Cの各要素x,yにはx∈X,y∈Yなる整列集合があるはずで、両者は（順序構造込みで）等しいか、一方が他方の切片。そこで「小さくないほう」の順序をそのままコピーしてx,yの大小を決めればよい。この定め方がX,Yの取り方によらないことも確認する必要がある。
2015-01-21 12:04:57
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「Zornの補題⇒整列可能定理」の証明のアウトライン - y_bonten's blog y-bonten.hatenablog.com/entry/2015/01/…
2015-01-21 14:05:04
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
Zornの補題⇒濃度比較可能定理の証明 - y_bonten's blog y-bonten.hatenablog.com/entry/2015/01/…
2015-01-23 10:53:56
TS
@ta_shim_at_nhn
@y_bonten the truth of universal-existential statements are preserved in unions of chains of models ということを知っていると便利です。
2015-01-23 12:58:00
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@ta_shim_at_nhn ありがとうございます。なるほど、それを切り出しておけばほとんど書くことが無くなりますね。
2015-01-23 14:11:13
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@ta_shim_at_nhn 直感的には明らかに見えますが、フォーマルな議論を学びたいと思います。お手数ですが、このことに触れている教科書を教えていただけますでしょうか？
2015-01-23 15:11:56
TS
@ta_shim_at_nhn
@y_bonten たとえば、Chang-Keisler の Model Theory の Theorem 3.2.3 の前半に証明があります。3rd edition の 149 ページに書いてあるようですが、ちょうど google books で読めるところにあります。
2015-01-23 17:56:36
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「Zorn⇒κ・κ＝κ（κは任意の無限濃度）」を示すために、κは必ず(アレフ0)^λ（λは濃度）と表せたりしないかなぁ、と思ったのだが、これは一般連続体仮説と関係するのでしょうか。
2015-01-26 09:32:38
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
Loewenheim-Skolem学ぶまで保留しておこうか、この問。赤先生の想定解はどんな証明なのだろう。
2015-01-26 10:45:30
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
命題6、「一番読みたいところがリンク切れ」という絶望に瀕したがPDF版で事なきを得た。alg-d.com/math/ord.html
2015-01-26 11:37:14
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
「Zorn⇒整列可能」と「任意のアレフに対しアレフ^2＝アレフ」が言えれば確かに「Zorn⇒任意の無限濃度κに対しκ・κ＝κ」が示されるけれど、これも赤集合論の想定解とはたぶん異なる。
2015-01-26 11:41:17
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@ta_shim_at_nhn 「(*)濃度が2^|B|に等しくなるようにB(⊆A)がとれるような、Aの部分集合」を包含関係で並べた鎖を考えたとき、その和集合はやはり(*)のひとつになると思うのですが、これも先日ご教授いただいたモデル論の定理が適用できますでしょうか？
2015-01-28 16:03:26
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
それにしてもZornの補題の使い方まで同じパターンにこうも何度も出くわすと、その手法までパッケージ化した補題の表現様式が作れるような気がする。あるのかもしれないけれど。
2015-01-28 16:16:47
TS
@ta_shim_at_nhn
@y_bonten つまり twitter.com/y_bonten/statu… のアイデア自体がうまくいかないのです。
2015-01-28 16:23:58
ぼんてんぴょん(Bontenpøn)
@y_bonten
@ta_shim_at_nhn あぁ！本当ですね。「2の（可算無限濃度以下）乗」は有限濃度か、（可算無限濃度をすっ飛ばして）連続体濃度になるんですね。いま初めて認識しました。ありがとうございます。
2015-01-28 16:29:53