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じゅー
@yjjtw
366RT目 0 #RTの数だけxで微分する (G/Z(G))_(n)=Eとなり従ってG_(n)/Z(G)=EゆえにZ(G)＞G_(n)(≠E)が成り立ちG_(n+1)=E。ゆえにGはクラスn+1のベキ零群。 以上より、Gがクラスnのベキ零群であるということと
2014-12-19 15:49:48
じゅー
@yjjtw
367RT目 0 #RTの数だけxで微分する Gがクラスnのベキ零群⇔G(n)=G(n-1)/Z(G(n-1))となる群の列はn番目に自明になる 特にGをp群とするとG(n)は全てp群でp群の中心は自明でないから|G(n)|は狭義単調減少していずれはEになるからp群はべき零。
2014-12-19 15:53:54
じゅー
@yjjtw
368RT目 0 #RTの数だけxで微分する べき零群の直積もべき零なので、従ってp群の直積はべき零群。逆にGがSylow p部分群の直積であればGはべき零群となる。HをGの真部分群とする。G(n)⊂Hとなる最小のnをとるとG(n-1)⊂Hでないのでa∈G(n-1)\Hがとれる
2014-12-19 16:01:58
じゅー
@yjjtw
369RT目 0 #RTの数だけxで微分する このとき[G,a]⊂G_(n)⊂HとなってH^(-1)a^(-1)Ha⊂H、ゆえにa∈N_G(H)となりa∈HでないからH≠N_G(H)がわかる。 PをGのSylow p部分群とする。N_G(P)=Hとおく。g∈N_G(H)とする。
2014-12-19 16:07:19
じゅー
@yjjtw
370RT目 0 #RTの数だけxで微分する このときg^(-1)Hg=Hなのでg^(-1)Pg⊂H。g^(-1)PgはHのSylow p部分群なのでSylowの定理よりあるh∈Hが存在しg^(-1)Pg=h^(-1)Phとなり、gh^(-1)∈N_G(P)=Hがわかる。
2014-12-19 16:08:55
じゅー
@yjjtw
371RT目 0 #RTの数だけxで微分する よってg∈Hh=Hがわかり、N_G(P)=N_G(N_G(P))がわかる。 さてGをべき零群とする。このときGのSylow p部分群Pに対しH=N_G(P)はN_G(H)=Hを満たすがGの任意の真部分群KはK≠N_G(K)となるので
2014-12-19 16:10:35
じゅー
@yjjtw
372RT目 0 #RTの数だけxで微分する 従ってH=Gがわかる。よってPは正規部分群。ゆえにべき零群GはSylow部分群の直積となる。
2014-12-19 16:11:16