【第7回関西すうがく徒のつどい】楕円関数とおもしろい応用

しゃんなな @ba7shan

楕円関数とおもしろい応用　#kansaimath

s.t. @simizut22

\pi / 2 を sin^{-1}(1) で定義する #kansaimath303

s.t. @simizut22

先ほどの講義との落差に戸惑っている #kansaimath303

D1マン @11029_8904

機関誌で1回生にやらせてるような感じのイントロだ #kansaimath303 #kansaimath

もなりず @monariz_arxiel

先ほどの講義がハードすぎるかも #kansaimath #kansaimath303

ひゃまひょう @hyamatter

1. 三角関数 def arcsinを積分から定義して、そこからpi/2を定置することで、piを定義した。 arcsinを積分で定義したものの逆関数としてsin関数(定義域は[-pi/2,pi/2])を定義した。 #kansaimath #kansaimath303

もなりず @monariz_arxiel

わかりやすい #kansaimath #kansaimath303

ひゃまひょう @hyamatter

先ほど定義したsin関数を(幾何学的に)周期拡張して、定義域を実数全体に拡張する。 #kansaimath #kansaimath303

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

三角関数の周期性 #kansaimath303

(☝ ՞ਊ ՞)☝ｲｲｲｨﾈ!!!bot @iiiiiiiiine_bot

x=sinu⇔(def.) u=\int_0^x 1/\sqrt{1-x^2} dx として三角関数も定義．周期性，奇関数であることも出る． #kansaimath #kansaimath303

もなりず @monariz_arxiel

加法定理 #kansaimath #kansaimath303

s.t. @simizut22

周期性と奇関数であることの証明 #kansaimath303

ひゃまひょう @hyamatter

Prop. sin関数の周期性(sin(u+2pi)=sin(u))。sin関数は奇関数(sin(-u)=sin(u))。 証明. 前者は拡張の仕方から自明。arcsinの定義を積分から定義したので、それをx->-yに置換から示す。 #kansaimath303

(☝ ՞ਊ ՞)☝ｲｲｲｨﾈ!!!bot @iiiiiiiiine_bot

u,vを十分小とすれば，sin(u+v)について加法定理が示せる #kansaimath #kansaimath303

s.t. @simizut22

加法定理の証明は以前東大の入試ででたそうですが，微積分を使って示します #kansaimath303

ひゃまひょう @hyamatter

Thm. 三角関数の加法定理 #kansaimath #kansaimath303

あーく @ark184

ringさん、私がしたら5回は計算をミスるであろう計算を平然と行っている。#kansaimath303

s.t. @simizut22

今のところ証明は u, v が十分小さいときで行われる #kansaimath303

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

やはり積分形は扱いやすい #kansaimath303

もなりず @monariz_arxiel

鮮やかお見事 #kansaimath #kansaimath303

s.t. @simizut22

cos は sin 使って定義 #kansaimath303

実況ちりん @mochiri_zikkyo

三角関数おわり #kansaimath303

もなりず @monariz_arxiel

練習問題）解析的にsin(π/6)を求めよ #kansaimath #kansaimath303

ぱっぷす＝むぎゅたん @Pappus_Mugyutan

sin(\pi/6)の値を求めよ（練習問題） #kansaimath303

もなりず @monariz_arxiel

三角関数は楕円関数ではない #kansaimath #kansaimath303