S多項式で遊ぼう

グレブナー基底大好きbot @groebner_basis

【S多項式で遊ぼう①】 まずは、次の問題を考えるぶなっ！ 問題「2変数実数係数多項式環R[x,y]において辞書式順序x>yを考える。この時、{xy-1,xz-1}はイデアルI=<xy-1,xz-1>のグレブナー基底であるか？」

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@groebner_basis 正しくは、「３変数実数係数多項式環R[x,y,z]において辞書式順序x>y>z」でしたぶな。

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【S多項式で遊ぼう②】 答えの前に、今日の知ってるといい知識ぶなっ！ S多項式 togetter.com/li/891841 グレブナー基底の判定法 togetter.com/li/893456 ぶなよっ！

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【S多項式で遊ぼう③】 それでは答えぶなっ！ まずxy-1とxz-1のS多項式を計算するぶなっ！ S(xy-1,xz-1) =z*(xy-1)-y*(xz-1) =y-z ぶなねっ！ 次にこれを割り算アルゴリズムでG={xy-1,xz-1}で割った余りを考えるぶなっ！

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【S多項式で遊ぼう④】 Gの先頭項は、xyとxzぶなね。y-zの項y,zはいずれもxy,xzでも割り切ることはないぶな。よって、 y-z=0*(xy-1)-0*(xz-1) +y-z であり、余りはそのままy-zぶなっ！

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【S多項式で遊ぼう⑤】 これは、0ではないので、グレブナー基底の判定法から、{xy-1,xz-1}はI=<xy-1,xz-1>のグレブナー基底ではないぶなっ！ ちなみに、y-zはIの元でその先頭項 yは<LT(G)>の元ではないことと、グレブナー基底の定義からも分かるぶなねっ！

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【S多項式で遊ぼう⑥】 では、Iのグレブナー基底は何なのかが気になるぶなねっ！ そこで、G={xy-1,xz-1}に新しく、さっきのy-zを足して、G={xy-1,xz-1,y-z}としたいと思うぶなっ！ ここで、y-z in I から、<G>は変わらずIになっているぶなっ！

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【S多項式で遊ぼう⑦】 （ちなみに、y-z in I であることはS多項式の定義からすぐわかるぶなよっ！） したがって、新しいGもIの基底になっているぶなっ！ それでは、GのすべてのペアについてS多項式を計算していくぶなよっ！

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【S多項式で遊ぼう⑧】 まず、S(xy-1,xz-1)=y-zで、これを新しいGで割ると、 y-z=0*(xy-1)+0*(xz-1)+1*(y-z) + 0 で余りが0になるぶなっ！ Gに新しくy-zを加えてるので、最初の時と余りが異なっているぶなねっ！

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【S多項式で遊ぼう⑨】 次に、S(xy-1,y-z)を計算するぶなっ！ S(xy-1,y-z) =1*(xy-1)-x*(y-z) =xz-1 になり、これをGで割ると、 xz-1=0*(xy-1)+1*(xz-1)+0*(y-z)+0 で余りは0になるぶなっ！

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【S多項式で遊ぼう⑩】 最後に、S(xz-1,y-z)ぶなっ！計算すると、 S(xz-1,y-z) =y*(xz-1)-xz*(y-z) =x*z^2-y ぶな。 これをGで割ると、 x*z^2-y=0*(xy-1)+z*(xz-1)+(-1)*(y-z)+0 で余りは0ぶなっ！

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【11】 したがって、GのすべてペアのS多項式の余りは0ぶなから、 G={xy-1,xz-1,y-z}はイデアルIのグレブナー基底ぶなっ！ グレブナー基底の定義から直接、Gがグレブナー基底であることを示すのはすごく大変ぶなけど、S多項式を使うと簡単に示すことができたぶなっ！

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【S多項式で遊ぼう12】 そして今、Iの基底からグレブナー基底を作ることが出来たぶなねっ！ このように、基底のS多項式を計算して、その余りを基底に足していくことでグレブナー基底を作ることを、「ブッフベルガーのアルゴリズム」というぶなっ！ これは明日詳しく解説するぶなよっ！

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【今日のまとめ】 「S多項式を使って、グレブナー基底を簡単に判定できたり、作ることができる」 ぶなっ！