0と無限と無理数と

『0と無限は慎重に取り扱ってください』と僕は偉い人に言われたのですがどうやらそれほど慎重に取り扱わない方もいらっしゃるようで。 別個にまとめたものがこちらにありましたのでご紹介。 ほとんどかぶってれぅ……。 http://togetter.com/li/105242 続きを読む
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@kenokabe

風呂に入ってて数学のことを妄想していて、ちょっと頭いいこと思いついたので、忘れないうちにTWしてメモしておく。タイトルは、「真円周率」とオイラーの等式が何故美しくないのか?

2011-02-24 21:50:03
@kenokabe

まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。

2011-02-24 21:52:31
@kenokabe

まず、円の数学的な美しさであるが、それは、コンパスを想像してみよう。コンパスの足の尺みたいな一定の長さを、ある一点を中心としてぐるっと一回転すれば、円になる。ある点からの距離が一定(半径)の図形が円。

2011-02-24 21:56:45
@kenokabe

数学的にいうと、この半径が基準になるのは自明。直径ではない。でも円周率π(パイ)って、「円周わる直径の比率」なんだよね。ここ完全に間違ってる。数学的には、円周率とは「円周わる半径の比率」にすべきだった。  

2011-02-24 22:00:44
@kenokabe

逆に言うと、「円周 = 直径 x 円周率3.14...」に今なってしまってるけど、ほんとうは、「円周 = 半径 x 円周率6.28...」として欲しかったの。

2011-02-24 22:01:49
@kenokabe

円周率が直径ベースになったのは、おそらく、それが歴史的に工学的にそっちのほうが便利だったから。直径はノギスですぐ測れるからね。半径、、なんていうと、その計測しやすい直径をいちいち2で割らなくちゃいけないから。

2011-02-24 22:03:26
もにょたん @monyotano

@kenokabe 無理数を2倍しても無理数だけど2で割り切れる無理数… いやなんでもないです

2011-02-24 22:04:22
@ooooooooo3

頭いいコトw? RT @kenokabe: 風呂に入ってて数学のことを妄想していて、ちょっと頭いいこと思いついたので、忘れないうちにTWしてメモしておく。タイトルは、「真円周率」とオイラーの等式が何故美しくないのか?

2011-02-24 22:05:35
@ooooooooo3

面積は… RT @kenokabe: 逆に言うと、「円周 = 直径 x 円周率3.14...」に今なってしまってるけど、ほんとうは、「円周 = 半径 x 円周率6.28...」として欲しかったの。

2011-02-24 22:06:58
@kenokabe

そこで半径ベースの「真円周率」を設定することにする。それを、【φ(ファイ)】としよう。 φ = 2π だ。 円周を求める公式は、半径をrとすると、円周=2πr でなく、 円周=φr となる。 これは、φをそう定義したので自明。 

2011-02-24 22:07:19
@kenokabe

面積は、 πr^2 だが、 1/2φr^2 となる。 

2011-02-24 22:09:26
suzuki hiroco @hiroco2003

電流の向きも。時間の向きも?RT @kenokabe: まず、前からずっと思ってたんだけど、人類は確実に円周率の設定をミスったと思う。今更取り返しがつかないので、いたく悔やまれる。円周率は3.1415192...じゃなくて、6.283....にすべきだった。以下その経緯と理由。

2011-02-24 22:11:51
@kenokabe

とにかく、数学でも物理でも、やたら2π、2πってでてくるわけ。 「その2ってなんだよw」とずーっと思っているし、それは円周率の初期設定が半径でなく直径にしてしまったので、そこで2倍する辻褄合わせしてるんだね。2がいちいち表記されるせいで、とても式の見通しがわるいし、美しくない。

2011-02-24 22:12:50
森 勇 (もりいさむ) @0136

@kenokabe 円周を求める公式としてはφ(仮)のほうがシンプル。でも面積の公式はπのほうがシンプル。でも、「円周」率という名称なら、円周を求めるときにシンプルであるべき。と。

2011-02-24 22:13:01
Ryoichi ISHIDA @kool_mint

確かにそう感じたことはある。RT @kenokabe: とにかく、数学でも物理でも、やたら2π、2πってでてくるわけ。 「その2ってなんだよw」とずーっと思っているし、……美しくない。 http://ow.ly/42xOT

2011-02-24 22:15:19
@kenokabe

ラジアン=弧度法、という表記法がある。 円周の長さが角度とばっちり呼応してるんで、そっち使おうやという数学的に洗練された表記法。単位円=半径1の円周の長さは2πなので、360度=2πラジアンと表記される。もしさ円周率が直径ベースでなく半径ならばただのπだ。今はそれをφと定義した。

2011-02-24 22:17:05
@kenokabe

オイラーの等式 - Wikipedia - http://goo.gl/YhGR e^iπ+1=0 これ、もっとも美しい数学の等式であると、いわれている、が、僕はそうは思わない。理由は、πだからだ。φならば、それよりも美しくなる。ここから結構深淵な議論に移行する。

2011-02-24 22:20:26
@kenokabe

オイラーの公式 - Wikipedia - http://goo.gl/Pjxb e^iθ = cosθ + isinθ ってのは、指数関数と三角関数が複素数の世界で等価ですよ、っていう意味だけど、 これはガウス平面上の原点中心、半径1の単位円を表している。角度θはなんでもあり。

2011-02-24 22:24:16
@kenokabe

オイラーの等式とは、その単位円上の点が、ぐるっと180度回ったとき、ラジアンでいうとπラジアンまわったときに、-1になるので、 e^πi = -1  両辺に1足せば、 e^πi+1=0 です! っていってるわけだ。 でもね、φ=2π ならば、どうなるか? e^φi=1 となる。

2011-02-24 22:28:08
@kenokabe

オイラーの等式は0もあるから美しんだよ!という異論が余裕で予想されるが、まだ話は終わってない。ここからだ。 僕は両辺に1を足したりするかわりに、こう変形したい⇒ e^(0+iφ)=1   ほら、0があるじゃない。  0 1 i φ e 全部ある。 

2011-02-24 22:31:25
@kenokabe

e^(0+iφ)=1  そしてこの等式には、オイラーの等式なんかにはない、重大な意味がある。

2011-02-24 22:31:52
@kenokabe

e^(0+iφ)=1  というのは、要するに、 e^(複素数)=1 という形になっているの。これが重要。 複素数平面(ガウス平面)上の任意の点=数は、e^(複素数)で表現できる。 

2011-02-24 22:36:28
@kenokabe

ガウス平面上の数を大きさr、角度θの極座標を使うと、 re^iθ となるけど、 これ r= e^log r なので、 re^iθ = e^(logr +iθ) って、eの指数関数の変数としてまとめることができる。複素数の変数。

2011-02-24 22:38:37
@kenokabe

e^(0+iφ)=1 っていうのは、つまり、その形になってるわけ。 eの指数関数の変数が 0+iφ という複素数ですよ、そのときの値は1ですね、っていう等式。

2011-02-24 22:40:44
@kenokabe

e^(0+iφ)=1 という等式がある。  1x1=1 というので、検証してみよう。 e^(0+iφ) x e^(0+iφ) = e^(0+0+ iφ+iφ) = e^(0+2iφ)  でもね、φてラジアンで360度の一回転のことなので、2φの2回転でも同じ角度になるの。  

2011-02-24 22:44:04
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