1つのモノイドを圏として見做すと幽霊が見えるよ

Deprecatad @deprecatad

@cocoatomo @_marony そうなるとここの「同型」は圏同型のことを指してるんですかね。

まろ@関数型言語作曲機械学習勉強してない @_marony

@cocoatomo @aiya_000 これで正しいとして、対象は・一つなので全て恒等射なのでしょうか

まろ@関数型言語作曲機械学習勉強してない @_marony

@aiya_000 @cocoatomo (書いた本人が良く分かってない)

Deprecatad @deprecatad

適当言ってしまったのでまろさんにキレられても仕方がないレベル。

tomo🐧@learning @cocoatomo

@aiya_000 @_marony まずは同型の話から. あるモノイドMと同型になりうるのは,「対象が1つだけの圏の射全体」です. ここで対象が何者かは一切関係無いです. また「・->・」という射は恒等射以外にあっても構いません.

Deprecatad @deprecatad

(・ -> ・) これ、顔。

Deprecatad @deprecatad

@cocoatomo @_marony それって 「対象が1つだけの圏の射全体」をモノイドと見なした時のモノイドMとのモノイド同型ということですか？ それとも、両者を圏と見なした時の圏同値…？？

tomo🐧@learning @cocoatomo

@aiya_000 @_marony 今考えているモノイドは圏とは関係無く, 集合に構造が入ったものだったと思います. (元のスライドがうろ覚え……) なのでモノイドの同型のはずです.

Deprecatad @deprecatad

@cocoatomo @_marony 集合N+を{(0+), (1+), (2+), ..}と定義して、 モノイドMをそれと関数合成演算子とのペア(N+, ⚪︎)と定義したときに 唯一の対象を持つ、ある圏1の唯一の対象Xと射X -> X全体をモノイドと見なした

Deprecatad @deprecatad

@cocoatomo @_marony モノイドM' := ((X -> X)全体, ⚪︎) のような 任意のM'とMが同型だという話で合ってますか？

tomo🐧@learning @cocoatomo

@aiya_000 @_marony はい, そうです. 射全体はHomという記号で表すので, Hom_C(X, X) ≡ Mとなる圏Cがある, ということだと思います.

Deprecatad @deprecatad

@cocoatomo @_marony ああ！！ だから対象・(対象X)について全く言及されないんですね！！ すごい、ありがとうございます！！！ :D

まろ@関数型言語作曲機械学習勉強してない @_marony

圏論の話を自分から出しておきながら難しくて理解できないリプでTLが埋まってる人の顔してる

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

@_marony 緩く言うと、あの「・」はなんでもないやつだった…って感じですw モノイドの範囲で考えると見えないもの…って感じ :)

まろ@関数型言語作曲機械学習勉強してない @_marony

@public_ai000ya なんでもないと言われると余計気になります。宇宙の果ての時間も空間もない領域が気になるように

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

・ ∈ obj(M) (0, 1, 2, .. : ・ -> ・) ∈ arr(M) (n, m : ・ -> ・) ∈ arr(M) => n + m : ・ -> ・ ∀n ∈ arr(M) => 0 + n = n + 0

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

@public_ai000ya M := ({0, 1, 2, ..}, +)

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

X ∈ obj(M') idX, Hom(X, X) ∈ arr(M') (n', m' : X -> X) ∈ arr(M') => n' ⚪︎ m' : X -> X ∀n' ∈ arr(M') => idX ⚪︎ n' = n' ⚪︎ idX

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

@public_ai000ya M' := ({n', m', ..}, ⚪︎)

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

pic.twitter.com/iXtdeUY9jB

拡大

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

pic.twitter.com/ZXQJndCqyc

拡大

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

うわあ、書くとすごいあっさりだ。 唯一の対象を持つ、いわゆる？ いわゆらない？ 圏1はモノイドと見做すことができるという。

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

圏M'をモノイドと見做す時、モノイドの元となる n', m'のような射のドメイン(= コドメイン)は忘却される。

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

MやM'を圏と見做す時に現れる、糊付けのための対象・(対象X)。 それが・(X)の正体だっ！！ :D

⿻あいや⿻ 駆け出しエンジニア @public_ai000ya

@_marony 今軽くまとめてみたのですが、(定義的でないにしろ)わかりました。 あの・はモノイドを圏として見做すと「単なる対象」としか言及できなくて(圏の性質による)、 モノイドをモノイドとして見做すと消えるので言及できないという、 幽霊みたいなものなのだと思いました…っ！