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Polyhedrondiary
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{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
普通のビリヤードは壁(クッション)が長方形になってるので，手玉をうまい方向(対角線と平行な方向)に撞くことで，全部の壁に次々当てて，元の位置に戻すことが可能。 このときの軌跡は平行四辺形になる。 これを三次元で考えるとどうなるか？
2017-06-13 08:32:34
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
つまり，多面体の内面をビリヤードのクッションと考えて，内部で手玉を撞いたとき，全部の面に次々当たって元の位置に戻ることは可能か？って問題。 もちろん重力は無視して，手玉とクッションと完全弾性衝突するとする。 多面体を鏡で作ってレーザー光線を当てるという話にしてもいい。
2017-06-13 08:33:51
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
で，これが立方体のときの解。 シュタインハウスの立方体ビリヤード。 "Steinhaus' Billiard Ball Loop" を YouTube で見る youtu.be/MFW9LaEbS9g
2017-06-13 08:36:02
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
コンウェイの正四面体ビリヤード。 "Conway's Billiard Ball Loop" を YouTube で見る youtu.be/uOhDmr7jNaw
2017-06-13 08:37:50
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
他の正多面体で，内面をクッションとした三次元ビリヤードの総面巡回(漏れ・ダブりなし)は可能だろうか。
2017-06-13 08:42:11
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
立方体と正四面体の総面巡回ビリヤード解。 Mathworldによると，各面の同心1/3正方形と同心1/10正三角形の頂点を通る軌跡で実現可能だとか。 Billiards mathworld.wolfram.com/Billiards.html pic.twitter.com/BYaV5Ik1pP
2017-06-13 21:43:52
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{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
総面巡回ビリヤードは，全て(5つ)の正多面体で可能で，正八面体，正十二面体，正二十面体についても実際に構築したのがこの論文のようです。(pdf) stanwagon.com/public/hudelso…
2017-06-13 21:48:36
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
正八面体の総面巡回ビリヤード。立体視できる pic.twitter.com/YgUXA3XyRw
2017-06-13 21:50:16
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{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
正十二面体の総面巡回ビリヤード。もちろん空間十二角形になってる。 pic.twitter.com/n9sJPQTlhb
2017-06-13 21:51:55
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{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
正二十面体の総面巡回ビリヤード。軌道に対称性あるのがよく分かる。 pic.twitter.com/r6xpVKjNS8
2017-06-13 21:53:35
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@Polyhedrondiary
このビリヤードは内面で反射するレーザー光線と同じなので，反射面の向こうに鏡映対称につなげていくと，20個の正二十面体が一直線に並ぶことになるの，とても明快で面白い。 こいつらをレーザー光線が串刺しにしてるイメージ pic.twitter.com/LlRjGMj7dN
2017-06-13 21:57:17
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@Polyhedrondiary
レーザー光線が当たる面を抜いて入射側から見たらこんな感じ。20個貫いて向こう側が見えるという。 pic.twitter.com/qCA6aKG2bh
2017-06-13 22:00:26
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@Polyhedrondiary
これ，「うまい方向」がちゃんと長方形の対角線方向になるのは，テーブルに対して手玉が充分小さいときになりますね。 twitter.com/Polyhedrondiar…
2017-06-13 23:08:30
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
摩擦を無視しなければ，回転かけたりしてもっと違った軌道を辿って巡回することも可能なんだろうけど。 数学的興味としては，前提は単純な方が面白い，ということで。
2017-06-13 23:11:55
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
こっちの場合は，手玉は大きくてもOK。 もちろん内接球よりは小さい必要あるけどね🎱 twitter.com/Polyhedrondiar…
2017-06-13 23:14:55
TokusiN
@toku51n
@Polyhedrondiary なるほど、正多面体だから手玉の大きさは問わないけど、半正多面体だと手玉の大きさによって挙動が変わるのか・・・
2017-06-13 23:16:03
こなみひでお
@konamih
@Polyhedrondiary Pov-Ray では鏡による反射を正確に実現できるので，多面体に光を照射する実験が可能かも知れません。ソースを書くのは大変そうですが。 guido.vonrudorff.de/tutorial-visib…
2017-06-13 23:39:07
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
@konamih Pov-Ray，そんなこともできるのですね！面白そうですが，もう長いことやってないので，ちょっとハードルが…
2017-06-13 23:45:47
{3,5/2} 大二十面体
@Polyhedrondiary
合わせ鏡の三次元版=立体合わせ鏡と多面体についての@konamih さんのCG教材。綺麗です。 このように八面体対称な多面体は互いに垂直な3枚の合わせ鏡で作れるし，角度を変えれば二十面体対称な多面体も作れるはずですね 鏡の反射 ruby.kyoto-wu.ac.jp/konami/Math/PO…
2017-04-20 22:05:39