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事の発端は次のツイートでした:
※注: 「f(f(x))=x が恒等的には成り立たない」の意味。f(x)=a/x (a は定数) のとき常に f(f(x))=x となるので、それを排除することが目的と思われます(次のツイートも参照)
飛鳥氏( @Asuka_Tsukimi )が早々と反例を構成します。その後 f に条件を加えるとどうなるかという話に。
飛鳥
@Asuka_Tsukimi
@toon000227 たとえばf(f(x))=16xとして、2^n(nは整数)を境に4xと-4xを交互にとるようにすると反例になる気がします
2017-07-29 16:05:00
すむーずぷりんちゃん🍮
@mat_der_D
@Asuka_Tsukimi @toon000227 あれ、原点付近ってどうつなげるんですか？(√(2x) だと x=1 で √2 になる)
2017-07-29 17:20:58
すむーずぷりんちゃん🍮
@mat_der_D
@Asuka_Tsukimi @toon000227 なりたってるぽいですね(すごい…) 負の場合は f(-x):=-f(x) でおっけーですね
2017-07-29 17:26:38
飛鳥
@Asuka_Tsukimi
@mat_der_D @toon000227 これ任意の連続全単射[0,1]→[0,1]を引き伸ばしてぱたぱた並べてもできるので結構たくさんありますね
2017-07-29 17:28:30
飛鳥
@Asuka_Tsukimi
@mat_der_D @toon000227 原点でのテイラー展開がxになるような関数を使えば良さげ（なんかテイラー展開が0になるやつはあったはずなのでxを足す）
2017-07-29 17:30:24
飛鳥
@Asuka_Tsukimi
@mat_der_D @toon000227 あ、でも両端でテイラー展開が0になるやつって有名なので（1の分割とか作るやつ）それを（単射になる程度に緩やかに）足せばよさそう
2017-07-29 17:35:53飛鳥氏の例(f(f(x))=4x)以外にも、f(f(x))=0 となる C^1 関数 f が提案されました:
こーよん
@katatumuri0602
@toon000227 @mat_der_D @Asuka_Tsukimi f(x)=x^2(xが0以下) 0(xが正) とかc1級、、、、？
2017-07-29 22:29:42※注: x<0 の部分を e^(1/x) に置き換えれば直ちに C^∞ にできます。
nkj氏( @nkj158 )が興味深い性質を示します。そこからさらに議論は発展。
nkj
@nkj158
@katatumuri0602 @toon000227 @mat_der_D @Asuka_Tsukimi f○fが恒等的に0でないとすると，f○f(x)=x/a (aは0でない実数) とおけて，fは全単射より，逆写像が存在し，(af)○f=idよりf^{-1}(x)=a f(x)が，f(f(ax))=xよりf^{-1}(x)=f(ax)であるのでf(ax)=af(x)はいえるようです
2017-07-29 23:39:31