2回合成が線形になる関数について考えていたら面白い結果がたくさん出てきた件

nkj @nkj158

@katatumuri0602 @toon000227 @mat_der_D @Asuka_Tsukimi あとはfの連続性があればf(x)=f(1)*xがいえたりしませんかねー(期待)

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

@nkj158 @katatumuri0602 @toon000227 @Asuka_Tsukimi 実はC^∞で線形でないものが存在することがわかってます( @Asuka_Tsukimi さんが示しました)

nkj @nkj158

@mat_der_D @katatumuri0602 @toon000227 @Asuka_Tsukimi なるほど！ f(a)=a f(1)となっていれば区間[1,a]で好きなことができるんですね

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

飛鳥さんの構成法はかなり本質的な感じだ

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

飛鳥さんの構成法、もしかしてf○f=id だと使えないのでは？

飛鳥 @Asuka_Tsukimi

@mat_der_D そうですね・・・

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

@Asuka_Tsukimi ・f:R→R ・f○f=id ・f は連続 だとどうなるのかな

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

@Asuka_Tsukimi y=f(x) のグラフが y=x で対称になってさえいればよさそう？

飛鳥 @Asuka_Tsukimi

@mat_der_D f(x)=1-x......

飛鳥 @Asuka_Tsukimi

@mat_der_D 一応分かったことを書いておくと、不動点が2個あったらその間にもう1点あるという気持ち悪いことが成り立ちます

飛鳥 @Asuka_Tsukimi

@mat_der_D あと今気づいたんですけどg^{-1}(1-g(x))みたいな反例がたくさんあります

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

@Asuka_Tsukimi twitter.com/mat_der_D/stat… なんだかこれに集約されてる感がある

飛鳥 @Asuka_Tsukimi

@mat_der_D 完全にそれはそうだった・・・

nkj @nkj158

@Asuka_Tsukimi @mat_der_D ちょっと気になったんですけど ・f:R→R ・f○f=-id をみたすfは存在するのでしょうか

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

@nkj158 @Asuka_Tsukimi … 1/4≦x<1/2: f(x)=-x/2 1/2≦x<1: f(x)=2x 1≦x<2: f(x)=-x/2 2≦x<4: f(x)=2x … として、 f(0)=0 f(-x)=-f(x) とするのでどうでしょう？

nkj @nkj158

@mat_der_D @Asuka_Tsukimi そんな手があったとは…！ 気づいたんですけれど ・f:R→R :連続 ・f○f=-id を満たすfは存在しないですね．(証明)f(x)=0となるx≠0が存在したとするとf○f(x)=f(0)=0より矛盾．したがってfが連続よりx>0，x<0それぞれの区間でfは同符号をとる．(続く

nkj @nkj158

@mat_der_D @Asuka_Tsukimi このとき，どのようにf(x)の符号を定めてもf○f=-idに反する．(証明終) なんだか2乗と2回合成の類似性を感じられて面白いと思いました

nkj @nkj158

@mat_der_D @Asuka_Tsukimi これ，写像度を使って奇数次元に一般化できますね！ 奇数nに対して，連続写像 f:R^n→R^nでf○f=-idを満たすものは存在しない．

飛鳥 @Asuka_Tsukimi

@nkj158 @mat_der_D たしかにホモロジー類がひっくり返るので奇数次元だと無いですね。面白い

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

飛鳥さんの方法のC^∞のやつ、ちゃんと正当化してチェックしようかな

すむーずぷりんちゃん🍮 @mat_der_D

原点での微分可能性が示せない