超準解析を応用することに関連するつぶやき
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dif_engine
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ジョージ・バークリー（https://ja.wikipedia.org/wiki/ジョージ・バークリー）
という人は，「あんたら微積分はめっちゃすごい近代精神の至宝だと思ってるじゃん？んで偉そうにして俺らキリスト教を怪しげなオカルト呼ばわりして見下してるけどさ，微分するときにお前らがつかう無限小だって『いくらでも小さいけどゼロじゃない』とかなんだよ！怪しさではオカルトといい勝負だろうが！いい加減にしろ！」という感じの激しいノリで解析学を批判したことで知られています．
数学者たちが不信心者呼ばわりされることをどの程度気にしたかはよくわかりませんが，確かに無限小概念には怪しさがつきまとっていました．やがて数学内部でも解析学の基礎をなんとかしようという機運が高まりました．コーシーやデデキント（他にも沢山の貢献者がいますが）のアイデアを軸にして一階の述語論理と集合論の言葉でまとめ直した現代の解析学は，無限小を完全に追放した形で展開することができます．
ずっと後になって，アブラハム・ロビンソンは1960年代にモデル理論の道具を利用して，無限小概念を合理的に復活させることに成功しました．ロビンソンの議論は，モデル理論のようなメタ数学的な道具によって支えられていることは大変重要だと思います．メタ数学的な議論が行えるようになったときにようやく無限小を合理化できたとするならば（私はそう思っています），バークリーの時代の数学者たちが無限小を合理化する手段を持っていなかったことは自明になるからです．
dif_engine
@dif_engine
「無限小は欺瞞的議論だから近代解析学から追放されたのでは？」「オウフｗｗｗいわゆるストレートな質問キタコレですねｗｗｗ 超フィルターってのを使って超積を作るとŁośの定理が成立してですねｗｗｗいや失敬ついディープなネタがｗｗｗ拙者は決して基礎論ヲタではなくて応用を志向した」文字数
2017-08-25 00:12:13
dif_engine
@dif_engine
こういう感じの答えはわりと狭いサークルでしか通用しないと思う： twitter.com/dif_engine/sta…
2017-08-25 00:53:27
dif_engine
@dif_engine
Łośの定理がどうこうってのはもちろん大事だけどテクニカルな部分でしょ．その詳細によって別の意味論のレイヤーを作り出してるみたいなことが上の（藁人形的な）オタクの説明には抜けてるんですよ．
2017-08-25 00:56:18
dif_engine
@dif_engine
解析学の厳密化の過程で「実在ではない」という烙印を押された無限小のような量が「どのような現実的な意味で」使える様になったのかという解釈の軸をよほどしっかりさせておかないと「現実世界への超準解析の応用」は非常に難しいのではないかと思った．
2017-08-24 23:57:28
dif_engine
@dif_engine
ジョージ・バークリーの批判は別に死に絶えたわけじゃないんですよ．バークリーの名前が忘れ去られたとしても彼の無限小量への疑念は容易に再発見されうる性質のものなので，無限小量を使う人は「無限に小さいならすなわちそれはゼロではないのか？」という質問に答えられねばならない．
2017-08-25 00:23:05
dif_engine
@dif_engine
僕は無限小を実在と考えたい方なので上部構造を使った「解釈としての無限小」があまり好きではなく，超準集合論を好んでるけど実際問題としてネルソンが公にした見解を見ると，晩年になるほど実在論よりは反実在論的な立場を強めてた感じがあり，超準集合論なら実在論的というわけでもなさそう．
2017-08-25 00:35:47
dif_engine
@dif_engine
ISTの創始者のネルソンは，超準解析は（合理化し得る）省略記法なのだという感じの理解を推している．つまり，無限小について反実在論なのではないか感ある．Dienerたちの特異摂動への超準解析の応用は，無限小に対してわりと実在み強めの印象がある．
2017-08-25 00:01:17
dif_engine
@dif_engine
ネルソンのISTについてのネルソン流の理解では「無限小量が何かと問うても良いが，（実用上大部分の場面で）無限小量についての命題は無限小量を含まない命題に同値なので気にする必要すらないんですよ」ということになる．
2017-08-25 00:25:13
dif_engine
@dif_engine
これはネルソンのリダクションアルゴリズムのおかげですね．ネルソンをネチネチと批判してるHrbáčekもこのアルゴリズムのことは賞賛してるわけです．（とは言えRIST系ではこのアルゴリズムは実質機能しない問題はあります）．
2017-08-25 09:16:35
dif_engine
@dif_engine
そのような議論ができるためにはネルソンが定めた３つの公理図式をZFCに付け加えねばならないが，このようにしてZFCを拡張しても保存拡大になっていることが示せる．（Nelson1977の証明では global choice が仮定されている）
2017-08-25 00:28:28
dif_engine
@dif_engine
IST一つ取っても，例えばFehrele原理なんかはネルソンには発見が難しかったのでは？感ある．外集合が「お約束であり仮の実在」だと思うとね．
2017-08-25 00:41:01
dif_engine
@dif_engine
HrbáčekのRIST系超準集合論を見ると，彼自は無限の階層をなす異なる「強さ」の無限小達があると考えるのが自然だと思ってるらしい．わりと無限小に実在を感じてる人っぽい．
2017-08-25 00:14:23
dif_engine
@dif_engine
Diener や van den Berg は一貫して外集合や超準的に構成されるものを実在と考えてるでしょ．そういうのがビンビン伝わってくる．ネルソンはそうじゃないですね．
2017-08-25 00:42:41
dif_engine
@dif_engine
嘘をつかずかといってテクニカルな詳細についてダラダラと話さず，を両立させるためにはその立場を表す適切な標語があればいいわけです．（多少欺瞞的ではあるが）
2017-08-25 00:57:31
dif_engine
@dif_engine
自分は一時期（ダメットの）反実在論なんてのは良い標語なのではないかと思ったけどDienerのような人たちは恐らく同意しないでしょう．それに，上部構造でやってる人たちがどういう意識なのかは僕にはわかってない．まあつまり一つの標語で包括できるかっていうと無理かな感ある．
2017-08-25 01:00:05
dif_engine
@dif_engine
哲学って言うとわりと（宗教の次ぐらいに）警戒される感じがあるけど，誰かをやり込めたりするためじゃなく，自分の思想や理解を他人のそれと比較可能にするための座標軸を与えてくれるものなんだと思いますよ．
2017-08-25 01:03:01